Solución explícita SDE

Question

Tengo el siguiente SDE: $$dY_{t}=A\left(\frac{W_{t}^{1}}{\sqrt{t}},\frac{Y_{t}}{\sqrt{t}}\right)dW_{t}^{1}+B\left(\frac{W_{t}^{1}}{\sqrt{t}},\frac{Y_{t}}{\sqrt{t}}\right)dW_{t}^{2}$$

donde $W_{t}^{1}$ y $W_{t}^{1}$ son dos movimientos brownianos independientes y $$A(x,y)=a\frac{\Phi(y)\Phi(-y)e^{0.5(y^2-x^2)}+\Phi(x)\Phi(-x)e^{0.5(x^2-y^2)}}{1+a(1-2\Phi(x))(1-2\Phi(y))}, \ \ \ \ \ \ \ \ B=\sqrt{1-A^2}$$

Parece poco probable, pero me preguntaba si puede haber una solución explícita a esta ecuación diferencial estocástica en términos de $W_{t}^{1}$ y $W_{t}^{2}$ ? ¿Quizás se pueda reducir a una SDE lineal con una función adecuada?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Cuando $W_1$ y $W_2$ son independientes, $Y$ es igual a un movimiento browniano:

1. Es obviamente una martingala local bajo su filtración natural, y
2. De la isometría de Ito, $$\mathbf{E}Y_t^2 = \mathbf{E} \int_0^t A(...)^2 + B(...)^2 ds = t.$$ Entonces, a partir del teorema de Levy ( http://almostsure.wordpress.com/2010/04/13/levys-characterization-of-brownian-motion/ ), estas dos condiciones implican que $Y$ es un movimiento browniano.