Cambio de numeraire entre T-hacia adelante y Cuenta Bancaria

Question

Puedo seguir un curso, y llegar al punto de que uno de los bonos el precio de descuento por otro es una martingala: $$ \frac{P(t,T_0)}{P(t,T_1)} - \text{ es } \mathbb{Q}^{T_1} \text{ martingala } $$ No puedo comprender la prueba a continuación, principalmente lo que es mensurable en el interior de las expectativas: $$ \mathbb{E}^{T_1}_t \big[ \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big] = \frac{1}{P(t,T_1)} \mathbb{E}_t \big[ e^{-\int^T_t r(s)ds } P(T,T_1) \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big] = \frac{P(t,T_0)}{P(t,T_1)} $$ por $t<T< \min (T_0,T_1) $.

Aquí va mi intento: Miro a Brigo y Mercurio libro y decir que mi RN derivados( desde $T_1$ adelante de la medida $ \mathbb{Q}^{T_1}$ a habitual RNM $\mathbb{Q}= \mathbb{Q}^B$ o sin indicación de $\mathbb{Q}$ como yo de abajo): \begin{ecuación} \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \vert \mathcal{F}_t = \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} \end{ecuación}

la aplicación de la Regla de Bayes: $$ \mathbb{E}^{T_1}_t \big[ \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big] = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \big]} = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \big]} $$ y la sustitución de RN derivados dentro de la expectativa y el denominador obtenemos: $$ \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \big]} = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} } $$ Ahora, a mí me parece que todos dentro de la expectativa es medible, además de $\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)}$ , pero no estoy seguro de si el razonamiento es correcto, ni cómo la prueba de que $\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)}$ bajo $\mathbb{Q}$ es un medibles.

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Después de ver la respuesta de abajo, termino la aplicación del cambio de la medida:

$$ \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q}^{T_1} } { d \mathbb{Q} }\vert \mathcal{F}_T \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q}^{T_1} } { d \mathbb{Q} } \vert \mathcal{F}_T \big]} = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \left( \frac{P(T,T_1)}{P(0,T_1)} \frac{B(0)}{B(T)} \right)\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{P(0,T_1)} \frac{B(0)}{B(T)} \big] } = \frac{B(0)}{P(0,T_1)} \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \left( \frac{P(T,T_1)}{1} \frac{1}{B(T)} \right)\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{P(0,T_1)} \frac{B(0)}{B(T)} \big] } $$ saber que descuento con el banco de la cuenta de Bono Cupón Cero de los precios es una martingala: $$ \frac{P(t,T_x)}{B(t)} = E^{\mathbb{Q}}_t\left[ \frac{P(T,T_x)}{B(T)} \right] $$ obtenemos: $$ \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \left( \frac{P(T,T_1)}{1} \frac{1}{B(T)} \right)\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{1} \frac{1}{B(T)} \big] } = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_0)}{B(T)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{B(T)} \big] } = \frac{P(t,T_0)}{B(t)} \frac{B(t)}{P(t,T_1)} = \frac{P(t,T_0)}{P(t,T_1)} $$

(También recomiendo ver una bonita respuesta aquí y el enlace al artículo en la respuesta)

Answer 1

Su expresión para el RN derivada es correcto, de hecho $$ \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{P}^{T_1}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} $$ El problema viene de la aplicación de la (resumen) la regla de Bayes. Más específicamente, usted debe tener $$ \Bbb{E}_t^{T_1}[ X_T ] = \frac{ \Bbb{E}_t \left[ X_T \a la izquierda. \frac{d\Bbb{P}^T_1}{ d\Bbb{Q}} \right\vert_{\mathcal{F}_T} \derecho] } { \Bbb{E}_t \left[ \a la izquierda. \frac{d\Bbb{P}^T_1}{ d\Bbb{Q}} \right\vert_{\mathcal{F}_T} \derecho] } $$ para cualquier medibles $X_T$, con aquí $$ X_T = \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} $$ Así que tenía 2 problemas:

• El RN derivados debe ser evaluado en $\mathcal{F}_T$ no $\mathcal{F}_t$ porque $X_T$ se considera que $\mathcal{F}_T$-medible.
• Usted ha utilizado el mal RN derivados de la medida de cambio: usted debe utilizar la inversa de la de tu post. Tenga en cuenta que, $\forall t>0$ $$ \left. \frac{d\Bbb{P}^T_1}{ d\Bbb{Q}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \left( \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{P}^{T_1}} \right\vert_{\mathcal{F}_t}\derecho)^{-1} $$