Cómo encontrar la fórmula de la vida media de un proceso AR(1) (utilizando el proceso Ornstein-Uhlenbeck)

Question

Utilizando el proceso de Ornstein-Uhlenbeck, quiero demostrar que la fórmula de vida media para AR(1) es $$\text{HL}=-\log\left(\frac{2}{ \lambda}\right)$$

Tengo el proceso de Ornstein-Uhlenbeck definido como $$dx_t=\theta(\mu-x_t)dt+\sigma dW_t$$

y AR(1) como $$\Delta X_n=\mu+\lambda X_{n-1}+\sigma \varepsilon_n\quad,\quad n\geq 1$$

Estoy analizando esta derivación . Entiendo los pasos. La vida media calculada para el OU es $$T_{1/2}=\frac{\ln(2)}{\theta}$$

Tengo algunas dificultades para traducir esto en la correspondiente vida media de AR(1). Entiendo que si $dt=1$ entonces el modelo OU discretizado toma la forma de AR(1). ¿Es esto correcto? ¿Puede alguien aclarar la relación entre estos dos y el ajuste de la vida media para AR(1)? ¿Simplemente sustituimos el $\theta$ para $\lambda$ en la fórmula final? ¿cuál sería la explicación? ¿Y el signo menos?

Answer 1

Reescritura conveniente

Dejemos que $$X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \epsilon_t, \quad \vert \phi_1 \vert < 1 \tag{1} $$ denotan una débilmente estacionario Proceso AR(1). La estacionariedad débil implica, en particular, que $$\Bbb{E}[X_t] = \mu = \text{constant}$$ para todos $t$ . Esta propiedad se puede utilizar (basta con tomar la expectativa de ambos lados de la ecuación $(1)$ ), para encontrar que la media estacionaria $\mu$ se calcula como $$ \mu = \frac{c}{1-\phi_1} $$ que permite escribir (sólo hay que sustituir $c$ en $(1)$ dada la identidad anterior) $$ X_t - \mu = \phi_1(X_{t-1}-\mu) + \epsilon_t $$ o $$ Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \epsilon_t \tag{2} $$ donde $Y_t = X_t - \Bbb{E}[X_t] $ puede interpretarse como el distancia a la media estacionaria .

Vida media

La distancia actual a la media estacionaria es $Y_t$ . Al buscar la vida media, por definición estamos buscando el tiempo $t+h$ donde se espera que el proceso reduzca a la mitad su distancia a la media estacionaria, es decir $h$ tal que $$ \Bbb{E}_t [Y_{t+h}] = \frac{1}{2} Y_t $$

Un simple examen de la ecuación $(2)$ muestra que $\Bbb{E}_t [Y_{t+h}] = \phi_1^h Y_t $ lo que lleva a $$ \phi_1^h Y_t = \frac{1}{2} Y_t $$ por lo que $$ h = -\frac{\ln(2)}{\ln(\vert{\phi_1\vert})} $$