Definición de SSR en Bergomi en relación con la huelga pegajosa y el delta pegajoso

Question

En Bergomi [Stochastic Vol Modelling] (Sec. 2.5.2), en la sección sobre la dinámica de la superficie, se hace la siguiente definición del "Skew Stickiness Ratio" (SSR):

$$ SSR = \dfrac{1}{\mathcal{S}_T}\frac{d\hat{\sigma}_{F_TT}}{d\log(S_0)}$$

donde $\mathcal{S}_T=\frac{d\hat{\sigma}_{KT}}{d\log{K}}\Bigr\rvert_{K=F_T}$ .

Combinando estas ecuaciones obtenemos,

$$ SSR = \dfrac{1}{\frac{d\hat{\sigma}_{KT}}{d\log{K}}\Bigr\rvert_{K=F_T}}\frac{d\hat{\sigma}_{F_TT}}{d\log(S_0)}$$

Entonces Bergomi dice que $SSR=1 =>$ Sticky Strike y $SSR=0 =>$ Delta pegajoso.

Me gustaría demostrar estas afirmaciones matemáticamente, pero estoy teniendo problemas.

Si $SSR=1$ Entonces tenemos eso: $$ \frac{d\hat{\sigma}_{KT}}{d\log{K}}\Bigr\rvert_{K=F_T}= \frac{d\hat{\sigma}_{F_TT}}{d\log(S_0)}$$

entonces, ¿cómo es que esta declaración es equivalente a la huelga pegajosa? En otras palabras, ¿cómo equivale esta afirmación a $\hat{\sigma}_{KT}(t,S_t)=\hat{\sigma}_{KT}(t+\epsilon, S_{t+\epsilon})$ ?

Si $SSR=0$ Entonces tenemos eso: $$ \frac{d\hat{\sigma}_{F_TT}}{d\log(S_0)}=0$$

entonces, ¿cómo es que esta declaración es equivalente a la delta pegajosa? En otras palabras, ¿cómo es esta afirmación equivalente a $\hat{\sigma}_{xT}(t,S_t)=\hat{\sigma}_{xT}(t+\epsilon, S_{t+\epsilon})$ , donde $x=\log{\dfrac{S}{F_T}}$ ?

Bergomi da explicaciones intuitivas para estas afirmaciones que no tienen mucho sentido para mí. Supongo que estoy buscando una prueba formal que me tranquilice.

Answer 1

Algunas anotaciones

Es fácil perderse, así que introduzcamos algunas anotaciones y dejemos que $$ \sigma : (t, S, K, \tau) \to \sigma(K,\tau; S, t) $$ denota la sonrisa de volatilidad implícita que prevalece en el momento $t$ cuando el precio al contado es $S_t=S$ para una opción con nivel de strike $K$ y tiempo de caducidad $\tau=T-t$ . A partir de aquí, dejamos caer el $t$ argumento para mantener las anotaciones despejadas (todo sucede en $t$ ).

Volviendo a las notaciones utilizadas en el libro, el vol de ATMF para la corriente ( $t=0$ ) valor al contado de $S_0$ puede entonces reescribirse como $$ \hat{\sigma}_{F_T T}(S_0) := \sigma(f(S_0),T; S_0) $$ donde el precio a plazo verifica $$F_T := f(S_0) = S_0 \exp((r-q-u)T)$$

Utilizando estas anotaciones, el segundo término que interviene en la definición del SSR puede evaluarse fácilmente como $$ \frac{ d \hat{\sigma}_{F_T T}(S_0) }{d S_0} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\color{blue}{\sigma(f(S_0+\epsilon),T; S_0+\epsilon)}- \color{green}{\sigma(f(S_0),T ; S_0)} }{ \epsilon } $$

Los supuestos de pegajosidad nos permiten relacionar la sonrisa tras un movimiento puntual $\color{blue}{\sigma(\cdot,T;S_0+\epsilon)}$ a la sonrisa original $\color{green}{\sigma(\cdot,T;S_0)}$ . En particular

Regla de la huelga pegajosa

Para todos $K>0$ por definición tenemos que tener $$\color{blue}{\sigma(K,T;S_0+\epsilon)} = \color{green}{\sigma(K,T;S_0)}$$ de manera que podamos escribir sucesivamente \begin {align} \frac { d \hat { \sigma }_{F_T T}(S_0) }{d S_0} &= \lim_ { \epsilon \to 0} \frac { \color {Azul}{ \sigma (f(S_0+ \epsilon ),T; S_0+ \epsilon )} - \color {Verde}{ \sigma (f(S_0),T ; S_0)}{ \epsilon } \\ &= \lim_ { \epsilon \to 0} \frac { \color {Verde}{ \sigma (f(S_0+ \epsilon ),T; S_0)} - \color {Verde}{ \sigma (f(S_0),T ; S_0)}{ \epsilon } \\ &= \frac { \partial \sigma (K,T;S_0)}{ \partial K}(f(S_0)) f'(S_0) \end {align} Ya que a partir de la definición de $f(.)$ tenemos $$ f'(S_0) = f(S_0)/S_0 $$ entonces sí $$ \frac{ d \hat{\sigma}_{F_T T}(S_0) }{d \ln(S_0)} = \frac{\partial \sigma(K,T;S_0)}{\partial \ln(K) }(f(S_0)) = \mathcal{S}_T $$

Regla del dinero pegajoso

Por definición $$ \sigma(K^*,T;S_0+\epsilon) = \sigma(K,T;S_0) $$ si y sólo si $K^*/(S_0+\epsilon) = K/S_0$ .

Por lo tanto, la formulación equivalente de la regla, para todo $K > 0$ $$ \color{blue}{\sigma(K,T,S_0+\epsilon)} = \color{green}{\sigma(K S_0/(S_0+\epsilon), T; S_0)} $$

La aplicación de esto nos lleva ahora a \begin {align} \frac { d \hat { \sigma }_{F_T T}(S_0) }{d S_0} &= \lim_ { \epsilon \to 0} \frac { \color {Azul}{ \sigma (f(S_0+ \epsilon ),T; S_0+ \epsilon )} - \color {Verde}{ \sigma (f(S_0),T ; S_0)}}{ \epsilon } \\ &= \lim_ { \epsilon \to 0} \frac { \color {Verde}{ \sigma (f(S_0+ \epsilon ) S_0/(S_0+ \epsilon ),T; S_0)} - \color {Verde}{ \sigma (f(S_0),T ; S_0)}{ \epsilon } \\ &= \lim_ { \epsilon \to 0} \frac { \color {Verde}{ \sigma (f(S_0),T; S_0)} - \color {Verde}{ \sigma (f(S_0),T ; S_0)}{ \epsilon } = 0 \end {align}