Ejemplo numérico para entender el efecto de la gamma de la opción

Question

La gamma de una opción es la segunda derivada parcial del valor teórico de una opción frente al subyacente. Debería ser la tasa de cambio de Delta wrt a un pequeño cambio en el subyacente. Sin embargo, muchos libros de texto (por ejemplo, Trading option greeks, Passarelli) dicen que la gamma se establece convencionalmente en términos de Delta por movimiento de dólares.

Supongamos que queremos utilizar el Modelo B&S para una opción de compra sobre una acción que no paga dividendos. Supongamos también que

• S = 52 (el subyacente)

• K = 50 (la huelga)

• tau = 0,25 (el tiempo hasta el vencimiento)

• r = 0,12 (el tipo libre de riesgo)

• sigma = 0,3 ( la volatilidad del subyacente)

Entonces tenemos: Llamada = 5,057387 Delta = 0,7041836 Gamma = 0,04429147

Quiero estimar cómo será el valor de la opción si la acción cambia de 52 a 53 (en esta situación el modelo B&S daría como respuesta exacta Call = 5,783055).

Como primera aproximación (Delta) lo haría: Llamada = 5,057387 + (53 -52) 0,7041836 = 5,761571 (que no es igual a 5,783055) Entonces, si quiero ser más preciso, puedo usar la gamma también: El nuevo Delta debería ser 0,7041836 + 0,04429147 (gamma indicada ad Delta por movimiento de dólar) o 0,7041836 (1+0,04429147), es decir, la tasa de variación de Delta. ¿Por qué?

Answer 1

Utilizando a nuestro buen amigo Taylor sabemos que \begin{align*} C(S+\Delta_S)\approx C(S)+\Delta_C\Delta_S+\frac{1}{2}\Gamma_C(\Delta_S)^2, \end{align*} donde $\Delta_C$ y $\Gamma_C$ son las sensibilidades de la llamada y $\Delta_S$ un pequeño cambio en el precio del activo subyacente. En su ejemplo, $\Delta_S=1$ y así, \begin{align*} C(52+1) &\approx 5.057387 + 0.7041836 + \frac{1}{2}0.04429147 \\ &=5.783716335. \end{align*}

Por supuesto, cuanto menor sea la variación del precio del activo subyacente ( $\Delta_S\to0$ ), menor será la influencia de gamma (y delta). Incluso se podría mejorar el polinomio aproximado anterior e incluir derivadas más altas (la tercera derivada se llama a veces `` Velocidad '').

Answer 2

No estoy seguro de lo que está tratando de hacer, pero creo que está tratando de utilizar el método de Euler modificado para encontrar el valor de la opción.

Si el Delta en $S=52$ es $0.7041836$

el Delta en $S=53$ puede aproximarse como $0.7041836+(53-52)0.04429147=0.74847507$

El Delta que se utilizará en el método de Euler modificado (o Método Heun ) está a medio camino entre estos, es decir $(0.7041836+0.7484751)/2=0.72632935$ (a veces llamada estimación de la pendiente en el intervalo medio)

La estimación del valor de la opción en $S=53$ según Euler modificado es entonces $5.057387+(53-52)0.72632935 = 5.78371635$ que se acerca bastante al valor correcto.

Sin embargo, este n'est pas la forma en que se suele utilizar la Gamma en los cálculos de opciones, sino que se suele utilizar el método de las series de Taylor descrito por KeSchn.