Entiendo que el riesgo-neutral medida es una virtud de la cual el precio de descuento (acc. a la tasa libre de riesgo) de cualquier activo es una martingala. Pero también podemos ver la notación como $\mathbb{W}^Q_t$ para denotar un movimiento Browniano bajo el riesgo-neutral medida. ¿Qué es exactamente la definición de $\mathbb{W}^Q_t$? ¿Cómo $Q$ alterar el inmóvil e independiente de los incrementos de las propiedades de la norma Wiener proceso?
Respuesta
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Un movimiento Browniano siempre se define con relación a un determinado espacio de probabilidad. Vamos $(\Omega\mathcal{F},\mathbb{P})$ ser un espacio de probabilidad y $X_t=W_t^\mathbb{P}$ un movimiento Browniano, es decir, un proceso estocástico con me.yo.d. incrementos de $X_t-X_s\sim N(0,t-s)$ y la muestra continua de rutas de $\mathbb{P}$-a.s. y con $X_0=0$.
Ahora, vamos a $\mathbb{Q}\sim\mathbb{P}$ ser una nueva medida de probabilidad definida sobre el espacio medible $(\Omega\mathcal{F})$. Debido a la equivalencia, el ejemplo de los caminos de $X_t$ se continua en $\mathbb{Q}$-casi seguramente, pero ¿qué acerca de la distribución de los incrementos? $\mathbb{E}^\mathbb{P}[X_t-X_s]=0$ no implica que $\mathbb{E}^\mathbb{Q}[X_t-X_s]=0$. Por lo tanto, en general, $W_t^\mathbb{P}$ no es un movimiento Browniano ya que si se altera la probabilidad de medir y, por tanto, la expectativa etc.
Cuando usted dice que $W_t^\mathbb{Q}$ es un $\mathbb{Q}$-movimiento Browniano, que significa que cumple con la definición con respecto a la probabilidad de espacio. Si se altera alguno de los componentes de la probabilidad de espacio, el proceso no puede satisfacer la definición original de más.
Del mismo modo, martingales siempre se define con respecto a una determinada medida (expectativas) y de filtración. Si cambia la probabilidad de medir o la filtración, el proceso no es necesariamente martingala más.
