¿En qué se diferencia la derivada de Radon-Nikodym del cociente de probabilidad?

Question

Veo que la derivada de Radon-Nikodym es el cociente de medidas de probabilidad, $dP/dQ$ . ¿En qué se diferencia esto, en general, de un cociente de probabilidad de dos distribuciones continuas? Entiendo que la definición de RN se aplica en general a las densidades discretas/continuas/mixtas, pero más allá de eso ¿hay alguna diferencia?

Answer 1

Si $dx$ es una medida de Lebesgue, entonces domina a ambas medidas porque se corresponden con variables aleatorias continuas, y una de las propiedades de las derivadas de RN es $$ \frac{dP}{dQ} = \frac{\frac{dP}{dx}}{\frac{dQ}{dx}}. $$ El numerador es la densidad de $P$ y el denominador es la densidad de $Q$ . Esta es la segunda propiedad en wikipedia .

Así que sí, el ratio de probabilidad es sólo un caso particular. Si estas dos medidas fueran para variables aleatorias discretas, entonces se sustituiría $dx$ con la medida de recuento, y se obtendría una relación de funciones de masa de probabilidad.

Answer 2

En la teoría de la probabilidad, las funciones de densidad suelen ser definido como los propios derivados de Radon-Nikodym, $\frac{dP}{dQ}$ .

La función de verosimilitud interpreta estas densidades (derivadas R-N) en función de la parámetros dado algún resultado observado. Más explícitamente, dejemos que $X$ sea una variable aleatoria absolutamente continua. Entonces, $$\mathcal{L}(\theta|x\in X) = f(x|\theta) = \mathbb{P}(x\in X|\theta)$$ En otras palabras, la función de verosimilitud mide la probabilidad de observar $x$ dados los parámetros $\theta$ .

La razón de verosimilitud sirve para evaluar la bondad de ajuste de dos modelos estadísticos (con parámetros diferentes) a partir del mismo conjunto de observaciones $x$ no dos distribuciones completamente diferentes. Más explícitamente, dejemos que $\Theta$ sea el conjunto de todos los parámetros posibles, y considere algunos subconjuntos $\Theta_0, \Theta_1 \in \Theta$ . El ratio de probabilidad es entonces, $$\mathcal{L(\Theta_0,\Theta_1)} = -2\log\frac{\sup_{\Theta_0\in\Theta} \mathcal{L}(\theta)}{\sup_{\Theta_1\in\Theta}\mathcal{L}(\theta)}$$ que comprueba la hipótesis nula $\theta\in\Theta_0$ .