Construyendo un movimiento browniano a partir de una caminata aleatoria simple

Question

Estoy tratando de entender cómo se forma un movimiento Browniano a partir de una caminata aleatoria simple. He visto dos métodos similares utilizados:

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¿Por qué un enfoque utiliza $\frac{1}{\sqrt{k}}$ y el otro no? ¿Cómo ambos son válidos? El segundo enfoque sugiere que $\frac{1}{\sqrt{k}}$ se agregó para que el movimiento Browniano resultante siguiera una distribución normal por el teorema del límite central. ¿Sigue siendo válido esto para el primer enfoque?

Answer 1

No estoy seguro de la corrección del primer enfoque, pero el segundo enfoque utiliza $1 /\sqrt k$ para escalar la varianza de la suma total por $k$. Entonces, la diferencia de dos procesos (digamos $W_t$ y $W_{t+\Delta t}$) generados por la caminata aleatoria tendría una variación de $\Delta t$, lo que satisface una de las condiciones necesarias para obtener un proceso de Wiener.

Answer 2

Hay una derivación elemental muy simple de una distribución normal de una versión de la fórmula de precios de opciones utilizando el concepto de la interacción fundamental entre órdenes de compra y venta (o operadores al alza y a la baja).

La idea es establecer una relación entre 'pasos' y desplazamiento de precios.

Considera un gráfico hipotético de acciones donde una acción se ha movido una cantidad $a$ (por lo general un pequeño porcentaje) durante algún tiempo $t_1$ (a menudo medido en años). Puede visualizarse como un triángulo, con los vértices siendo $t_1$ y $p_1$.

$p_1$ es el precio presente de la acción y el desplazamiento es $a*p_1$

Denota $t_2$ como el tiempo hasta la expiración

Considera una suma discreta de órdenes de acciones al alza $u$ y a la baja $d$ denotadas por

$u+d=\frac{t_2}{t_1}$

Cada 'alza' y 'baja' representa una 'unidad de tiempo'. Sumando las 'alzas' y 'bajas' se obtiene la suma de unidades.

La segunda parte de la interacción fundamental es la diferencia entre 'alzas' y 'bajas':

$u-d=f(p_2-p_1)$

Esto significa que la diferencia entre 'alzas' y 'bajas' da una función en términos de un nuevo desplazamiento, $p_2-p_1$ donde $p_2 \ge p_1$.

El par de ecuaciones lineales resuelve para $u$ y $d$:

$u=\frac{1}{2}\left(\frac{t_2}{t_1}+f(p_2-p_1)\right)

$d=\frac{1}{2}\left(\frac{t_2}{t_1}-f(p_2-p_1)\right)

Considera la relación proporcional entre dos desplazamientos, el original con $t_1$ y el nuevo, $p_2-p_1$

$\frac{a*p}{t_1}=\frac{p_2-p_1}{x}

Resolviendo para $x$ da la función necesaria en términos de $p_2-p_1$, que se incorpora a $u$:

$u=\frac{1}{2}\left(\frac{t_2}{t_1}+\frac{t_1(p_2-p_1)}{a*p_1}\right)

Cuando $p_2=p_1$, la acción no cambia, lo que significa que el número de unidades 'alza' es igual a las 'baja'.

Lo que hemos hecho es establecer una relación entre el desplazamiento de precios y las unidades de 'alza' y 'baja'.

Las unidades 'alza' y 'baja', análogas a lanzar una moneda, también siguen una distribución normal:

$\mu_1 +\sigma_1 = \frac{t_2}{2t_1}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t_2}{t_1})$

También hay $\mu_2, \sigma_2$ para el precio.

$\mu_2 = p_1 e^{r*t}$

(esto es porque si $p_2=p_1$ la acción no cambia, por lo tanto $\mu_1 = \frac{t_2}{2t_1}$ lo que significa que el número de unidades 'alza' es igual a 'baja', resultando en ningún desplazamiento.

Tenemos que encontrar $\sigma_2$

Debido a la equivalencia entre unidades y desplazamiento de precios, el $\sigma_2$ puede resolverse configurando $p_2=p_1+\sigma_2$

De la equivalencia:

$\mu_1 +\sigma_1=u$

Tenemos:

$\sqrt{\frac{t_2}{t_1}}=\frac{t_1 \sigma_2}{a p_1}$

Reordenando da el resultado clásico: $\sigma_2=a p_1 \sqrt{t_2}$ configurando $t_1=1$ (para un solo año y $t_2$ es la fracción del año)

Esto me ayudó a entender mejor el paseo aleatorio