Condición de transversalidad del horizonte infinito

Question

Esta pregunta es una extensión de Crecimiento endógeno: Senda de crecimiento equilibrado con utilidad CRRA Sin embargo, esta pregunta se refiere a un concepto específico utilizado en esa pregunta, y creo que sería útil tener una pregunta dedicada a este concepto.

Utilizaremos el modelo en esta pregunta:

$\textbf{Model:}$ $$K_t=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^nk_t$$ En este modelo, $k_t$ es elegido por los agentes, y $K_t=\bar{k}_t$ (la media de todos los $k_t$ ).

Ahora, los agentes quieren maximizar dinámicamente la utilidad (bajo ciertas restricciones) y tienen una utilidad CRRA (aversión al riesgo relativo constante), por lo que la maximización parece: $$\sum_{t=0}^\infty\beta^t\bigg(\frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)$$ $$s.t.\;Y_t=k_t^\alpha(E_tL)^{1-\alpha}$$ $$c_t+i_t=Y_t$$ $$k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t$$ $$c_t,i_t\geq0$$

$E_tL$ es la mano de obra efectiva y el resto de las variables son típicas (puedo dar sus definiciones si se solicita).

Una última adición al modelo es que hay dos restricciones de equilibrio: $$E_t=\frac{K_t}{L}$$ $$k_t=K_t$$

En la sección de respuestas, se me indicó que utilizara las condiciones de transversalidad y las condiciones de inada para demostrar que una senda de crecimiento equilibrado es óptima. A continuación, mi derivación de la condición de transversalidad:

En primer lugar, debemos derivar la condición de transversalidad del horizonte finito. Lo hacemos resolviendo: $$\underset{\{k_t\}_{t=0}^{T+1}}{max}\;\sum_{t=0}^{T}\beta^tU(\frac{}{})$$ $$s.t.\;k_{T+1}\geq0$$ Con nuestro modelo eso significa: $$\underset{\{k_t\}_{t=0}^{T+1}}{max}\;\sum_{t=0}^{T}\beta^t\bigg(\frac{((1+1-\delta)k_t-k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)$$ $$s.t.\;k_{T+1}\geq0$$

Nuestro Lagrangiano es: $$\ell(\frac{}{})=\sum_{t=0}^{T}\beta^t\bigg(\frac{((1+1-\delta)k_t-k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)+\lambda k_{T+1}$$

Para obtener la condición de transversalidad, diferenciamos con respecto a $k_{T+1}$ y utilizar la restricción.

FOC: $$\frac{\beta^T}{((1+(1-\delta))k_T-k_{T+1})^\gamma}=\lambda \qquad (1)$$ $$\lambda k_{T+1}=0 \qquad (2)$$ $$\lambda , k_{T+1}\geq 0 \qquad (3)$$ Resolviendo este sistema, obtenemos $\textbf{the finite horizon transversality condition is:}$ $$\bigg(\frac{\beta^T}{((1+(1-\delta))k_T-k_{T+1})^\gamma}\bigg)k_{T+1}=0$$ Ahora, para obtener la condición de transversalidad de horizonte infinito, volvemos a maximizar la función de utilidad descontada, pero fijamos el límite de la condición de transversalidad de horizonte finito como $T\rightarrow \infty$ igual a 0 como restricción.

Esto significa que tenemos que resolver: $$\underset{\{k_t\}_{t=0}^\infty}{max}\;\sum_{t=0}^\infty\beta^t\bigg(\frac{((1+(1-\delta))k_t-k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)$$ $$s.t.\; \underset{T\rightarrow\infty}{lim}\;\bigg[\bigg(\frac{\beta^T}{((1+(1-\delta))k_T-k_{T+1})^\gamma}\bigg)k_{T+1}\bigg]=0$$

Aquí es donde viene mi pregunta. ¿Cómo resolvemos esto? ¿Podemos utilizar un lagrangiano? Si es así, ¿cómo tomamos las condiciones de primer orden en presencia del límite? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tu confusión viene del hecho de que tratas la condición de Transversalidad como una restricción , mientras que es un condición de optimalidad . Así que la formulación del final de su pregunta es errónea. Lo que haces es resolver tu modelo como siempre, y entonces comprobar si la solución (en este caso la trayectoria de crecimiento equilibrado) satisface la condición de transversalidad.

La condición de transversalidad (TVC) es

$$\lim_{t \rightarrow \infty} \beta^t u'(c_t)k_{t+1} =0$$

En su modelo, $u'(c_t) = c_t^{-\gamma}$ y $c_t = (2-\delta)k_t - k_{t+1}$

Así que el TVC se convierte de hecho en

$$\lim_{t \rightarrow \infty} \frac {\beta^tk_{t+1}}{[(2-\delta)k_t - k_{t+1}]^{\gamma}} =0$$

Lo que queremos es comprobar si la (única) senda de crecimiento equilibrado satisface la condición de transversalidad. En la senda de crecimiento equilibrado tenemos $k_{t+1} = (1+g)k_t$ donde $g$ es una constante determinada por los parámetros exógenos del modelo y las condiciones de optimización. Así, cuando se está en la senda de crecimiento equilibrado, el TVC se convierte en

$$\lim_{t \rightarrow \infty} \frac {\beta^t(1+g)k_t}{[(2-\delta)k_t - (1+g)k_t]^{\gamma}} = \lim_{t \rightarrow \infty}\frac {(1+g)}{(1-\delta-g)^{\gamma}}\beta^t k_t^{1-\gamma}=0$$

Las constantes no son importantes, por lo que queremos que

$$\lim_{t \rightarrow \infty}\beta^t k_t^{1-\gamma}=0$$

retenciones. Obsérvese que si $\gamma \geq 1$ (que es el consenso en la literatura) la condición se cumple, ya que el capital va en el denominador, y hemos terminado.

Para el caso $\gamma <1$ queremos que la expresión se mantenga sólo en el límite, es decir finalmente . "Eventualmente" implica que, si $k^*_s$ es el nivel de capital en el momento $s<t$ cuando la economía llegue a la senda de crecimiento equilibrado, tendremos $k_t = k_s^*\cdot (1+g)^{t-s}$ . Entonces el TVC se convierte en

$$\lim_{t \rightarrow \infty}\beta^t \big[k_s^*\cdot (1+g)^{t-s}\big]^{1-\gamma}=0$$

Una vez más, arrojar cosas que no dependen de $t$ , para conseguir

$$\lim_{t \rightarrow \infty}\beta^t (1+g)^{(1-\gamma)t}=0 \implies \lim_{t \rightarrow \infty}\big[\beta (1+g)^{(1-\gamma)}\big]^t=0$$

Por lo tanto, la TVC se mantendrá si y sólo si

$$\beta (1+g)^{(1-\gamma)} <1$$

En la otra pregunta el OP ha obtenido

$$1+g = [\beta(\alpha+1-\delta)]^{\frac{1}{\gamma}}$$

Sustituyendo, queremos

$$\beta \Big([\beta(\alpha+1-\delta)]^{1/\gamma}\Big)^{(1-\gamma)} <1$$

Esto puede simplificarse un poco, y es una restricción de los parámetros que debe cumplirse para que la senda de crecimiento equilibrado satisfaga la condición de transversalidad (cuando $\gamma <1$ ). Para los valores de referencia de los otros parámetros se puede ver que la condición no es probable que se satisfaga.