Probabilidad condicional en Kaplan, Menzio (2014)

Question

Esta es una pregunta sobre Kaplan y Menzio modelo de tiempo de compra .

Páginas 7,8: Búsqueda de desempleados una o dos veces (para un vendedor).

• $\psi_u$ :probabilidad de buscar dos veces, buscar una vez con prob $1-\psi_u$
• $\nu$ es la probabilidad de encontrar un vendedor.
• Las búsquedas son independientes. Un desempleado que busca dos veces, por lo tanto tiene la probabilidad de encontrar dos vendedores de $\nu^2$ .

Ahora bien, el problema es que en la página 10 se analiza desde el punto de vista del vendedor. Con la condición de que el vendedor sea emparejado con un comprador, ¿cuál es la probabilidad de que el comprador sea emparejado con otro vendedor?

$$ Prob(\text{being matched second seller} | \text{being matched with first seller}) = \frac{Prob(\text{being matched with first and second seller})}{Prob(\text{being matched with first seller})} \\ = \frac{\text{search twice and find both times}}{\text{search once and find a seller or search twice and find one or two sellers }} \\ = \frac{\psi_u\nu^2}{((1-\psi_u) * \nu) + (\psi_u)*(\nu + \nu)}\\ = \frac{\psi_u\nu}{1+\psi_u}\\ $$

Sin embargo, lo que consiguen es

$$ \frac{2\psi_u\nu}{1+\psi_u}$$

En la página 8 calculan algunas "probabilidades intermedias", pero no veo cómo ayudan a obtener su resultado. ¿Cómo se obtiene el resultado?

Answer 1

La terminología primer/segundo vendedor puede ser confusa en este caso (¿se refiere al tiempo o a la condicionalidad?). Es más seguro centrarse en un vendedor concreto.

Que la probabilidad de que un comprador encuentre un vendedor determinado, $s$ , a través de la búsqueda única sea $\nu_s$ . La probabilidad de que un comprador sea emparejado con $s$ y (antes o después) otro vendedor es entonces (suponiendo que $\nu_s$ es pequeña para que la probabilidad de encontrar $s$ dos veces en un máximo de 2 búsquedas puede ser ignorado):

$$\psi_u(\nu_s\nu+\nu\nu_s)= 2\psi_u\nu_s\nu$$

La probabilidad de que un comprador sea emparejado con $s$ mediante una búsqueda simple o doble es (de nuevo ignorando la probabilidad, dada una búsqueda doble, de encontrar $s$ dos veces):

$$(1-\psi_u)\nu_s + \psi_u(\nu_s + \nu_s)=\nu_s(1+\psi_u)$$

La probabilidad condicional de que un comprador sea emparejado con $s$ y otro vendedor, condicionado a $s$ que se empareja con ese comprador, es por lo tanto:

$$\frac{2\psi_u\nu_s\nu}{\nu_s(1+\psi_u)}=\frac{2\psi_u\nu}{1+\psi_u}$$

Pero esta última fórmula no depende de $\nu_s$ . Por lo tanto, la misma fórmula se aplica a cualquier vendedor.

Answer 2

Aquí hay otra manera, utilizando la misma notación que Adam, para llegar al mismo resultado:

$$P(\text{another match | being matched}) = P(\text{searching twice | being matched})\cdot P(\text{another match | searching twice}) $$

Ahora,

$$P(\text{searching twice | being matched}) = \frac{P(\text{searching twice and being matched})}{P(\text{being matched})} \\ = \frac{\psi_u 2 \nu_s}{(1+\psi_u)\nu_s} $$

$$P(\text{another match | searching twice}) = \frac{P(\text{another match and searching twice})}{P(\text{searching twice})} \\ = \frac{\psi_u \nu}{\psi_u} $$

Así que,

$$P(\text{another match | being matched}) = \frac{\psi_u 2 \nu_s}{(1+\psi_u)\nu_s}\frac{\psi_u \nu}{\psi_u} = \frac{2\psi_u\nu}{(1+\psi_u)}$$