Del tiempo discreto al continuo: Diferencial total

Question

Estoy tratando de derivar un HJB de una configuración de tiempo discreto. En algún momento, me quedo con

$$ \lim_{\Delta\to 0} \frac{v(c_{t+\Delta}, u_{t+\Delta}, t+\Delta) - v(c_{t}, u_{t}, t)}{\Delta}$$

y no estoy seguro de qué hacer. Si $\Delta$ sólo estaba en un argumento, esto sería una diferencial parcial. Mi corazonada es que se trata de la derivada total en $t$ pero no sé cómo mostrarlo.

¿Cómo puedo proceder con la expresión anterior?

Answer 1

Puede separar su función en tres términos escribiendo \begin {align} & v(c_{t+ \Delta },u_{t+ \Delta },t+ \Delta )-v(c_t,u_t,t) = \\ & v(c_{t+ \Delta },u_{t+ \Delta },t+ \Delta )-v(c_t,u_{t+ \Delta },t+ \Delta ) \\ + & v(c_{t},u_{t+ \Delta },t+ \Delta )-v(c_t,u_t,t+ \Delta ) \\ + & v(c_t,u_t,t+ \Delta )-v(c_t,u_t,t) \end {align} Cuando se divide por $\Delta$ y tomar el límite $\Delta \rightarrow 0$ la primera expresión converge a $\dfrac{\partial v}{\partial c} \dfrac{dc}{dt}$ la segunda expresión a $\dfrac{\partial v}{\partial u} \dfrac{du}{dt}$ y la tercera expresión a $\dfrac{\partial v}{\partial t}$ . Por lo tanto, su derivada total es igual a \begin {Ecuación} \dfrac { \partial v}{ \partial c} \dfrac {dc}{dt} + \dfrac { \partial v}{ \partial u} \dfrac {du}{dt} + \dfrac { \partial v}{ \partial t} \end {Ecuación}