Dejemos que $F(t,x)$ sea la solución de la EDP $$ F_t(t,x)=aF_x(t,x)+\frac{1}{2}F_{xx}(t,x),t>0 $$ $$F(0,x)=g(x)$$ para alguna función $g$ . Sea $X_t$ sea un proceso definido por $$dx_t=aX(t)dt+dW(t)$$ Ahora considere el proceso $F(t-s,X_s)$ .
¿Cómo puedo utilizar Ito para expresar $dF(t-s,X(s))$ ?
Bienvenido.
En primer lugar, supongo que la PDE propuesta debería ser $$ F_t=axF_x+\frac{1}{2}F_{xx}. $$ Tal vez se haya perdido un $x$ frente a la $F_x$ término. Pero, por favor, hágame saber si no es así.
En vista de $F(t-s,X_s)$ , $s$ es la variable a la que ${\rm d}$ es con respeto, mientras que $t$ es un parámetro. Por lo tanto, para ser menos ambiguos, utilicemos $F(T-t,X_t)$ en su lugar, donde $t\in\left[0,T\right]$ .
Tenga en cuenta que $F(T-t,x)$ es una función de $t$ y $x$ . Para que quede claro, definamos $G(t,x)=F(T-t,x)$ . Por la fórmula de Ito, \begin{align} &{\rm d}F(T-t,X_t)\\ &={\rm d}G(t,X_t)\\ &=\frac{\partial G}{\partial t}(t,X_t)\,{\rm d}t+\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t)\,{\rm d}X_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial x^2}(t,X_t)\,{\rm d}\left<X\right>_t. \end{align}
Siempre que $$ {\rm d}X_t=aX_t\,{\rm d}t+{\rm d}W_t, $$ tenemos ${\rm d}\left<X\right>_t={\rm d}t$ . Sustituyendo estos dos resultados en la ecuación anterior, obtenemos \begin{align} &{\rm d}F(T-t,X_t)\\ &=\left(\frac{\partial G}{\partial t}(t,X_t)+aX_t\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial x^2}(t,X_t)\right){\rm d}t+\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t)\,{\rm d}W_t\\ &=\left(\frac{\partial G}{\partial t}+ax\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2G}{\partial x^2}\right)(t,X_t)\,{\rm d}t+\frac{\partial G}{\partial x}(t,X_t)\,{\rm d}W_t. \end{align}
Recordemos que $G(t,x)=F(T-t,x)$ y es obvio que \begin{align} \frac{\partial G}{\partial t}(t,x)&=-\frac{\partial F}{\partial t}(T-t,x),\\ \frac{\partial G}{\partial x}(t,x)&=\frac{\partial F}{\partial x}(T-t,x),\\ \frac{\partial^2G}{\partial x^2}(t,x)&=\frac{\partial^2F}{\partial x^2}(T-t,x). \end{align} En consecuencia, obtenemos \begin{align} &{\rm d}F(T-t,X_t)\\ &=\left(-\frac{\partial F}{\partial t}+ax\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}\right)(T-t,X_t)\,{\rm d}t+\frac{\partial F}{\partial x}(T-t,X_t)\,{\rm d}W_t. \end{align}
Por último, hay que tener en cuenta que la EDP da $$ -\frac{\partial F}{\partial t}+ax\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}=0, $$ y finalmente obtenemos $$ {\rm d}F(T-t,X_t)=\frac{\partial F}{\partial x}(T-t,X_t)\,{\rm d}W_t. $$
Eso es todo. Espero que esto pueda ser algo útil para usted.
Muchas gracias. Es muy útil. Una pregunta. ¿Por qué? $\frac{\partial G}{\partial t}(t,x)=-\frac{\partial F}{\partial t}(T-t,x)$ ? No entiendo por qué necesitamos un "menos"?
@econmajorr: Sí, la respuesta de byouness es clarificadora. Básicamente, $\frac{\partial}{\partial t}F(T-t,x)$ y $\frac{\partial F}{\partial t}(T-t,x)$ significan esencialmente diferentes. El primero significa tomar la derivada de $F(T-t,x)$ con respecto a la variable $t$ en el sentido habitual. Por el contrario, esto último significa tomar la derivada de la función bivariante $F$ con respecto a su $t$ -variable (originalmente, $F$ se define como $F=F(t,x)$ y su $t$ -es exactamente su primera variable), tras lo cual se valora la función derivada en el punto $\left(T-t,x\right)$ .
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