Valor en tiempo 0 de una Put americana en el modelo Cox-Ross-Rubinstein

Question

Esta es una pregunta de una hoja de problemas que he entregado y para la que tengo soluciones. Los únicos ejemplos que he visto en clase son ejemplos en los que el tipo de interés es 0.

"Consideremos un modelo Cox-Ross-Rubinstein con $T = 3$ periodos, $S_0 = 100$ , $u = 1.6$ y $d = 0.6$ . El tipo de interés es $r = 0.1$ . ¿Cuál es el precio a tiempo 0 de una opción de venta americana que tiene precio de ejercicio $e = 90$ ?"

Así que tenemos una reclamación, $X_t = (e - S_t)_+$ .

Las soluciones son las siguientes:

En el momento 3 la demanda tiene valores $(0,0,32.4,68.4)$ en los diferentes estados.

En el momento 2 los valores de la demanda cuando se ejerce inmediatamente son $(0,0,54)$ .

La envolvente Snell del tiempo 2 da valores $(0, \frac{32.4 \times \frac{1}{2}} {1 + r},\frac{(32.4 + 68.4) \times \frac{1}{2} } {1 + r})$ en los diferentes estados.

Mi pregunta es, ¿por qué hay un denominador de $1 + r$ ¿incluido? Estoy pensando que quizás estamos calculando la envolvente Snell para el proceso descontado, pero seguramente entonces la envolvente Snell en el momento 2 sería $\max\{\frac{X_2}{(1 + r)^2},\mathbb{E}(Z_3 | \mathcal{F}_2)\}$ y $Z_3 = \frac{X_3}{(1 + r)^3}$ .

Answer 1

1. $S_0$ : El precio de las acciones hoy.
2. $p$ : La probabilidad de una subida de precios.
3. $u$ :El factor por el que sube el precio.
4. $d$ : El factor por el que baja el precio.

Se necesitan tres ecuaciones para poder especificar de forma única los valores de los tres parámetros del modelo binomial. Dos de estas ecuaciones surgen de la expectativa de que, durante un pequeño período de tiempo, el modelo binomial debería comportarse de la misma manera que un activo en un mundo neutral al riesgo.Esto conduce a la ecuación \begin{align} p\,u+(1-p)d=e^{r\,\Delta t} \end{align} que asegura que durante el pequeño periodo de tiempo $\Delta t$ la rentabilidad esperada del modelo binomial coincide con la rentabilidad esperada en un mundo neutral al riesgo, y la ecuación \begin{align} p\,u^2+(1-p)d^2=\sigma^2\Delta t \end{align} lo que garantiza que la varianza coincida.

Cox-Ross-Rubinstein

Cox, Ross y Rubinstein propusieron la tercera ecuación \begin{align} u=\frac{1}{d} \end{align} Reordenando las tres ecuaciones anteriores para resolver los parámetros p, u y d se llega a, \begin{align} &p=\frac{e^{r\,\Delta t}-d}{u-d}\\ &u=e^{\sigma\,\sqrt{\Delta t}}\\ &d=e^{-\sigma\,\sqrt{\Delta t}} \end{align} La solución única para los parámetros p, u y d dada en la ecuación anterior garantiza que durante un corto período de tiempo el modelo binomial se ajusta a la media y la varianza de un activo en un mundo libre de riesgo y, como se verá en breve, garantiza que para un modelo de varios pasos el precio del activo subyacente es simétrico en torno al precio inicial $S_0$ .

En general, el período de tiempo entre hoy y el vencimiento de la opción se divide en muchos períodos de tiempo pequeños. A continuación, se calcula un árbol de posibles precios futuros de los activos. Cada punto del árbol se denomina nodo. El árbol contiene los posibles precios futuros de los activos para cada periodo de tiempo desde hoy hasta el vencimiento.

Descuento del pago de la opción de venta americana.

\begin{align} V_n=max\{K-S_n\,,\, e^{-\sigma\,\sqrt{\Delta t}}\left(p\,V_u+(1-p)V_d\right)\} \end{align}

donde

1. $n$ designa un nodo antes de la expiración.
2. $V_n$ es el valor de la opción.
3. $K$ es la huelga.
4. $S_n$ es el precio del activo subyacente.
5. $V_u$ es el valor de la opción del nodo superior en $n+1$ .
6. $V_d$ es el valor de la opción del nodo inferior en $n+1$ .

Este ejemplo muestra cómo valorar una opción de venta americana con un precio de ejercicio de $\$ 90 $ that matures in 1 year. The current asset price is $\$100$ el tipo de interés sin riesgo es $ 10\%$ y la volatilidad es $92\%$ . No hay pago de dividendos.

[Precio, Opción]=binprice(Precio, Strike, Tipo, Tiempo, Incremento, Volatilidad, Bandera)

donde

Bandera: Especifica si la opción es una compra (Bandera = 1) o una venta (Bandera = 0).

Answer 2

Por lo general, al hacer árboles, la gente descuenta un paso a la vez. Así que este es el valor descontado desde el final hasta ese nodo del árbol.