¿Alguien puede explicarme paso a paso cómo puedo dinámica de cobertura y/o replicar un quanto opción con el extranjero activo subyacente, el dinero extranjero en efectivo de la cuenta y de la interna de la cuenta de efectivo de la forma más detallada posible? Y si usted podría recomendar libros o artículos que también sería genial. Gracias
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La simulación es básicamente bien, aunque necesita de descuento en USD. Para la cobertura de propósito, usted necesita para hacer uso de los instrumentos en USD.
Vamos $S=\{S_t, \, t\ge 0\}$ se el precio de las acciones en el proceso de EUROS, $X=\{X_t, \, t\ge 0\}$, el tipo de cambio de EUR a la unidad de las unidades de USD, $r_f$ y $r_d$ ser las tasas de interés en EUR y USD. Por otra parte, vamos $B_t^f=e^{r_f t}$ y $B_t^d=e^{r_d t}$, respectivamente, de la cuenta de mercado monetario valores en EUR y USD. A continuación, los instrumentos disponibles en USD $XS$, $B^d$ y $B^fX$. En concreto, suponemos que $X$ y $S$ satisfacer un sistema de SDEs de la forma \begin{align*} dS_t &= S_t\left(\mu_s dt + \sigma_s dW_t^1 \derecho)\\ dX_t &= X_t\left[\mu_x dt + \sigma_x \left(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2}dW_t^2\derecho) \derecho], \end{align*} donde $\mu_s$ y $\mu_x$ se deriva de los términos, $\rho$ es la correlación, $\{W_t^1, t\ge0\}$ y $\{W_t^2, t\ge0\}$ son dos independientes estándar Browniano movimientos.
Deje que $C(t, S_t)$ ser quanto el precio de la opción en vez de $t$. Buscamos un auto-financiación de la cartera, tales que \begin{align*} C(t, S_t) = \Delta_t^1 X_tS_t + \Delta_t^2 X_t B_t^f + \Delta_t^3 B_t^d.\la etiqueta{1} \end{align*} A continuación, \begin{align*} dC &= \Delta_t^1 d\left(X_tS_t\derecho) + \Delta_t^2 d\left(X_t B_t^f\derecho) + \Delta_t^3 d\left(B_t^d\derecho)\\ &=\Delta_t^1X_tS_t\left[\left(\mu_s + \mu_x + \rho\sigma_s\sigma_x \derecho) dt + \sigma_s dW_t^1 + \sigma_x \left(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2}dW_t^2\derecho) \right]\\ &\quad + \Delta_t^2 X_t B_t^f\left[(\mu_x + r_f) dt + \sigma_x \left(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2}dW_t^2\derecho) \derecho] + r_d\Delta_t^3 B_t^d dt. \end{align*} En el otro lado \begin{align*} dC &= \frac{\partial C}{\partial t}dt + \frac{\partial C}{\partial S}S_t \left(\mu_s dt + \sigma_s dW_t^1 \derecho) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}S_t^2 \sigma_s^2 dt. \end{align*} Es decir, \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial S}S_t\sigma_s dW_t^1 &= \Delta_t^1X_tS_t\left[\sigma_s dW_t^1 + \sigma_x \left(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2}dW_t^2\derecho) \right]\\ &\qquad\qquad\qquad + \Delta_t^2 X_t B_t^f \sigma_x \left(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2}dW_t^2\derecho)\etiqueta{2} \end{align*} y \begin{align*} &\ \frac{\partial C}{\partial t}dt + \frac{\partial C}{\partial S}S_t \mu_s dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}S_t^2 \sigma_s^2 dt \\ =&\ \Delta_t^1X_tS_t\left(\mu_s + \mu_x + \rho\sigma_s\sigma_x \derecho) dt+\Delta_t^2 X_t B_t^f(\mu_x + r_f) dt+r_d\Delta_t^3 B_t^d dt.\la etiqueta{3} \end{align*} De $(2)$, \begin{align*} &\Delta_t^1X_tS_t \sigma_x + \Delta_t^2 X_t B_t^f \sigma_x =0,\\ &\frac{\partial C}{\partial S}S_t\sigma_s = \Delta_t^1X_tS_t\left(\sigma_s+ \sigma_x \rho\derecho) + \Delta_t^2 X_t B_t^f \sigma_x \rho. \end{align*} La combinación con $(1)$ de arriba, \begin{align*} \Delta_t^1 &= \frac{1}{X_t}\frac{\partial C}{\partial S}, \\ \Delta_t^2 &= -\frac{S_t}{B_t^f}\Delta_t^1, \\ \Delta_t^3 &=\frac{C(t, S_t)}{B_t^d}. \end{align*} De $(3)$, obtenemos el Black-Scholes tipo PDE \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial t} + \left(r_f - \rho\sigma_s\sigma_x \derecho)S_t \frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}S_t^2 \sigma_s^2 = r_d C. \end{align*} Ver también las notas aquí.
Randor
Puntos
563
