¿Por qué el efecto renta es nulo para las funciones de utilidad cuasilineales?

Question

Supongamos que tengo la función de utilidad $$U(x,y) = \sqrt{x} + y$$ con una restricción presupuestaria $$p_x x + p_y y = m$$ Entonces $$x_M =\frac{p_y^2}{4 p_x^2}$$ $$y_M = \frac{m}{p_y} - \frac{p_y}{4 p_x}$$

donde $M$ denota a los marshallianos.

Ahora supongamos que aumento $p_x$ a $p_x'$ .

¿Por qué el efecto de los ingresos es nulo?

Answer 1

A partir de la fórmula de $x_M$ vemos que no depende de los ingresos $m$ . Así que $$\frac{\partial x_M}{\partial m} =0$$ Así, la ecuación de Slutsky

$$\frac{\partial x_M}{\partial p_x} = \frac{\partial x_H}{\partial p_x} +-\frac{\partial x_M}{\partial m}x_M$$

implica

$$\frac{\partial x_M}{\partial p_x} = \frac{\partial x_H}{\partial p_x} +(0)x_M $$ $$\frac{\partial x_M}{\partial p_x} = \frac{\partial x_H}{\partial p_x} $$ Por lo tanto, y dado que $-\frac{\partial x_M}{\partial m}x_M$ es el efecto renta, esto implica que el efecto renta es nulo y todo el cambio se debe al efecto sustitución.

Answer 2

Intuitivamente, la utilidad marginal de x cae más rápido que la utilidad marginal de y (que en realidad es constante), por lo que con suficiente dinero todos los fondos marginales van a parar a y. Del mismo modo, con suficiente dinero, una disminución del dinero sólo reduce la cantidad de y, no de x. Pero debes saber que esto no es cierto globalmente. Si $$m < \frac{p_y^2}{4 p_x}$$ entonces las funciones de demanda son: $$x_M =\frac{m}{p_x}$$ $$y_M = 0$$