Cómo derivar esta aproximación de la neutrales al riesgo expectativa de la varianza?

Question

En el papel Bollerslev, Tauchen y Zhou (2009 RFS) los autores dicen acerca de la ecuación (15):

El modelo correspondiente implícita de riesgo-neutral esperanza condicional $$E^Q_t(\sigma^2_{r,t+1})=E_t(\sigma^2_{r,t+1}M_{t+1})E_t(M_{t+1})^{-1}$$ no puede ser fácilmente calculada en forma cerrada.

Sin embargo es posible calcular la siguiente cerca de log-lineal de la aproximación: $$E^Q_t(\sigma^2_{r,t+1}) \approx \log[e^{-r_{f,t}} E_t[e^{m_{t+1}+\sigma^2_{r,t+1}}]] -\frac{1}{2}Var_t(\sigma_{r,t+1}^2) = E_t(\sigma^2_{r,t+1})+(\theta - 1)\kappa_1 [A_\sigma + A_q \kappa_1^2(A_\sigma^2 + A_q^2 \varphi_q^2)\varphi_q^2]q_t$$

Puedo entender perfectamente cómo llegar desde la primera igualdad a la segunda. Pero la última igualdad, no tengo idea de donde viene.

En primer lugar, me imagino que los términos: $\log[e^{-r_{f,t}} E_t[e^{m_{t+1}}]]$ cancelar. Pero entonces, ¿cómo deshacerse de los $E_t[e^{\sigma^2_{r,t+1}}]$?

Answer 1

Tenemos la primera lista de los supuestos. \begin{align*} g_{t+1} &= \mu_g + \sigma_{g, t} z_{g, t+1}, \etiqueta{1}\\ \sigma_{g, t+1}^2 &= a_{\sigma} + \rho_{\sigma} \sigma_{g, t}^2 + \sqrt{q_t} z_{\sigma, t+1}, \etiqueta{2} \\ q_{t+1} &= a_{q} + \rho_q q_t + \varphi_q \sqrt{q_t} z_{p, t+1}. \etiqueta{3} \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} r_{t+1} &= -\ln \delta +\psi^{-1} \mu_g - \frac{(1-\gamma)^2}{2\theta} \sigma_{g, t}^2 + (\kappa_1 \rho_q-1)A_q q_t \\ & \quad +\sigma_{g, t}z_{g, t+1} +\kappa_1\sqrt{q_t} (A_{\sigma}z_{\sigma, t+1} + A_q \varphi_q z_{p, t+1}). \etiqueta{10} %\sigma_{r, t}^2 &= \sigma_{g, t}^2 + \kappa_1^2(A_{\sigma}^2 + A_q^2 \varphi_q^2)q_t, \etiqueta{12} \end{align*} A partir de (2) y (3), \begin{align*} \sigma_{r, t+1}^2 &= \sigma_{g, t+1}^2 + \kappa_1^2(A_{\sigma}^2 + A_q^2 \varphi_q^2)q_{t+1}, \etiqueta{13}\\ &=a_{\sigma} + \rho_{\sigma} \sigma_{g, t}^2 + \sqrt{q_t} z_{\sigma, t+1} \\ &\quad + \kappa_1^2(A_{\sigma}^2 + A_q^2 \varphi_q^2)(a_{q} + \rho_q q_t + \varphi_q \sqrt{q_t} z_{p, t+1}). \end{align*} A partir de (1) y (10), \begin{align*} m_{t+1} &= \theta \ln \delta \theta \psi^{-1}g_{t+1}+(\theta-1)r_{t+1} \etiqueta{4}\\ &=\theta \ln \delta \theta \psi^{-1}(\mu_g + \sigma_{g, t} z_{g, t+1})\\ &\quad +(\theta-1)\bigg[-\ln \delta +\psi^{-1} \mu_g - \frac{(1-\gamma)^2}{2\theta} \sigma_{g, t}^2 + (\kappa_1 \rho_q-1)A_q q_t\\ &\quad +\sigma_{g, t}z_{g, t+1} +\kappa_1\sqrt{q_t} (A_{\sigma}z_{\sigma, t+1} + A_q \varphi_q z_{p, t+1})\bigg]. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} %E_t(m_{t+1}) &= \theta \ln \delta \theta \psi^{-1}\mu_g + (\theta-1)\bigg[-\ln \delta +\psi^{-1} \mu_g - \frac{(1-\gamma)^2}{2\theta} \sigma_{g, t}^2 + (\kappa_1 \rho_q-1)A_q q_t\bigg],\\ %{\rm Cov}_t(m_{t+1}, r_{t+1}) &= -\gamma \sigma_{g, t}^2 + (\theta -1) \kappa_1^2 q_t\big(A_{\sigma}^2 + A_q^2 \varphi_q^2\big),\etiqueta{11}\\ {\rm Cov}_t(m_{t+1}, \sigma_{r, t+1}^2) &=(\theta -1)\kappa_1 \Big[A_{\sigma}+A_q\kappa_1^2\big(A_{\sigma}^2 + A_q^2 \varphi_q^2\big) \varphi_q^2 \Big]q_t . \end{align*} Además, a partir de la condición de normalidad de $m_{t+1}$ y $\sigma_{r, t+1}^2$, \begin{align*} E_t^Q\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho) &=E_t\left(\sigma_{r, t+1}^2M_{t+1}\derecho)/E_t(M_{t+1})\\ &\approx \ln\left(e^{-r_{f, t}} E_t\left(e^{m_{t+1}+\sigma_{r, t+1}^2} \right) \derecho) - \frac{1}{2} {\rm Var}_t\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho) \etiqueta{*}\\ &=\ln\left(e^{-r_{f, t}} e^{E_t(m_{t+1}) + \frac{1}{2}{\rm Var}_t(m_{t+1})+E_t(\sigma_{r, t+1}^2)+ \frac{1}{2} {\rm Var}_t\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho) + {\rm Cov}_t(m_{t+1}, \sigma_{r, t+1}^2)} \derecho) \\ &\quad- \frac{1}{2} {\rm Var}_t\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho)\\ &=\ln\left(e^{-r_{f, t}} E_t\left(e^{m_{t+1}}\right) e^{E_t(\sigma_{r, t+1}^2)+ \frac{1}{2} {\rm Var}_t\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho) + {\rm Cov}_t(m_{t+1}, \sigma_{r, t+1}^2)} \right) - \frac{1}{2} {\rm Var}_t\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho)\\ &=E_t\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho) + {\rm Cov}_t(m_{t+1}, \sigma_{r, t+1}^2) \\ &=E_t\left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho) + (\theta-1)\kappa_1\Big[A_{\sigma} + A_q \kappa_1^2 \big(A_{\sigma}^2 + A_q^2 \varphi_q^2\big)\varphi_q^2 \Big]q_t. \end{align*}

La interpretación de los registros de la aproximación lineal (*).

Con respecto a Log-lineal de la aproximación (*), ya que el papel no se ha proporcionado una explicación, nos proporcionan una posible interpretación a continuación. Específicamente, tenga en cuenta que \begin{align*} e^{\sigma_{r, t+1}^2} &\aprox 1+ \sigma_{r, t+1}^2 + \frac{1}{2} \left(\sigma_{r, t+1}^2\derecho)^2\\ &\aprox 1+ \sigma_{r, t+1}^2 + \frac{1}{2} \Big[\big(\sigma_{r, t+1}^2\big)^2 - \left(E_t\big(\sigma_{r, t+1}^2\big)\derecho)^2\Big]\\ &\aprox 1+ \sigma_{r, t+1}^2 + \frac{1}{2}{\rm Var}_t \big(\sigma_{r, t+1}^2\big). \end{align*} A continuación, \begin{align*} \ln\left(e^{-r_{f, t}} E_t\left(e^{m_{t+1}+\sigma_{r, t+1}^2} \right) \derecho) &\approx \ln\left(e^{-r_{f, t}} E_t\left(e^{m_{t+1}}\left(1+ \sigma_{r, t+1}^2 + \frac{1}{2}{\rm Var}_t \big(\sigma_{r, t+1}^2\big) \derecho) \derecho) \derecho)\\ &\approx \ln \left(1 +e^{-r_{f, t}} E_t\left(\sigma_{r, t+1}^2M_{t+1}\derecho) + \frac{1}{2}{\rm Var}_t \big(\sigma_{r, t+1}^2\big) \derecho)\\ &\aprox e^{-r_{f, t}} E_t\left(\sigma_{r, t+1}^2M_{t+1}\derecho) + \frac{1}{2}{\rm Var}_t \big(\sigma_{r, t+1}^2\big)\\ &= E_t\left(\sigma_{r, t+1}^2M_{t+1}\derecho)/E_t(M_{t+1}) + \frac{1}{2}{\rm Var}_t \big(\sigma_{r, t+1}^2\big). \end{align*} Es decir, \begin{align*} E_t\left(\sigma_{r, t+1}^2M_{t+1}\derecho)/E_t(M_{t+1}) &\approx \ln\left(e^{-r_{f, t}} E_t\left(e^{m_{t+1}+\sigma_{r, t+1}^2} \right) \derecho) -\frac{1}{2}{\rm Var}_t \big(\sigma_{r, t+1}^2\big). \end{align*}

Answer 2

Directamente desde el papel:

Suponemos que el agente representante en la economía está equipado con el virus de Epstein–Zin–Weil recursiva preferencias. En consecuencia, la logaritmo de la intertemporal de tasas marginales de sustitución, $m_{t+1} \equiv log(M_{t+1})$, puede ser expresado como $$m_{t+1} =\theta log\delta\theta\psi^{-1}g_{t+1}+(\theta−1)r_{t+1}, (4)$$

[...]

Vamos a $w_t$ denota el logaritmo del precio–la proporción de dividendos, o, equivalentemente, el precio–consumo o la riqueza de la relación del consumo, de los activos que paga el el consumo de dotación, $\{C_{t +i} \}_{i=1}^\infty$ . La solución estándar método para encontrar el equilibrio en un modelo como el que se define arriba, a continuación, consiste en conjeturas una solución para $w_t$ como afín a la función de las variables de estado, $σ^2_{g,t}$ y $q_t$ , $$w_t = A_0 + A_σσ^2_{g,t} + A_qq_t, (6)$$ la solución para que los coeficientes de $A_0$, $A_σ$, y $A_q$, usando el estándar de Campbell y Shiller (1988) la aproximación $r_{t+1} = κ_0 + k_1w_{t+1} − w_t + g_{t+1}$.

[...]

A partir de la solución para la de a, en la actualidad es relativamente sencillo deducir la forma reducida expresiones por otras variables de interés. En particular, el tiempo $t$ $t + 1$ de retorno debe satisfacer los siguientes relación: $$r_{t+1} =−log\delta+ \psi^{-1}\mu_g − \frac{(1-\gamma)^2}{2\theta}\sigma^2_{g,t}+(k_1\rho_q-1)A_qq_t+\sigma_{g,t}z_{g,t+1}+(10)$$ $$k_1\sqrt{q_t}[A_qz_{\sigma,t+1}+A_q\varphi_qz_{p,t+1}]$$

[...]

Establecer formalmente este resultado, denotan la varianza condicional de el tiempo de t a t + 1 return como $σ^2_{r,t} \equiv Var_t (r_{t+1} )$. De ello se sigue de la Ecuación (10) que $$\sigma^2_{r,t}=\sigma^2_{g,t} + k_1^2(A_\sigma^2+A^2_q\varphi_q^2)q_t , (12)$$ [...]En lugar de considerar el periodo por delante varianza condicional, $$\sigma^2_{r,t+1}=\sigma^2_{g,t+1} + k_1^2(A_\sigma^2+A^2_q\varphi_q^2)q_{t+1} , (13)$$ que es desconocido o estocástico en el tiempo t.[...] Se deduce fácilmente que el tiempo t objetivo esperanza condicional es igual a $$E_t[\sigma^2_{r,t+1}]=a_\sigma + k^2_1(A_\sigma^2+A_q^2\varphi^2_q)a_q+\rho_\sigma\sigma^2_{g,t}+k_1^2(A_\sigma^2+\varphi^2_q)\rho_qq_t , (14)$$

Si usted usa (4) y (14) en la segunda parte de la igualdad puede recuperar la tercera parte.