Representación estratégica de juegos de forma extensiva

Question

Propuesta. Cada juego de forma extensiva finita está asociado a una única representación de forma estratégica.

Creo que esta proposición es cierta. Pero, ¿cómo podemos demostrarla rigurosamente?

Answer 1

Me baso en las definiciones del capítulo 2 del Handbook of Game Theory, volumen 1, de Sergiu Hart.

Si lo he entendido bien, la proposición se puede reescribir como

Propuesta . Porque, todo juego de forma extensiva finita $\Gamma^E$ existe un único representación de forma estratégica $\Gamma^N =[I^N,\{S^N_i\},\{u^N_i(\cdot)\}]$ (hasta el reetiquetado de los agentes) tal que

1. $I^N = I^E$ ,

y para todos $i\in I^N = I^E$ ,

2. $S^N_i = \{$ estrategias puras de $i$ en $\Gamma^E$ $\}$ ,

3. y $u^N_i(s) = u^E_i(c(s))$ , donde $c(s) $ asocia cada perfil de estrategia pura en $\Gamma^E$ con un nodo terminal de $\Gamma^E$ resultante del perfil de la estrategia pura $s$ .

Creo que 1. y 2. son evidentes. Sólo queda demostrar la 3, que equivale a demostrar que $c(s)$ es una función, es decir, cada perfil de estrategias puras está asociado a uno y sólo un nodo terminal en $\Gamma^E$ . Esto se deduce directamente del hecho de que la estrategia pura de algún jugador $i$ es una función que selecciona una y sólo una acción posible de cada conjunto de información.

• Empieza por el nodo root, $r_0$ .

• Por definición de un juego en forma extensiva, los nodos están repartidos entre los agentes.

• Así, $r_0$ pertenece a algún agente $i_0$ .

• Por definición del juego en forma extensiva, los nodos de $i_0$ se dividen en conjuntos de información.

• Así, $r_0$ pertenece a algún conjunto de información de $i_0$ , digamos que $H_i^0$ .

• Por definición de la estrategia pura $s$ para cualquier nodo de $H_i^0$ , $i_0$ siempre elige un solo sucesor, entre los posibles sucesores en $H_i^0$ .

• Que este sucesor sea $r_1$ .

• Entonces $r_1$ debe ser el sucesor de $r_0$ y el siguiente nodo de la ruta.

• Ahora considere $r_1$ .

• Por definición de un juego en forma extensiva, los nodos están repartidos entre los agentes.

• Así, $r_1$ pertenecen a algún agente $i_1$ (donde $i_1 = i_0$ está permitido).

• $\vdots$

• Repitiendo el argumento tantas veces como sea necesario, porque el juego es finito, llegamos necesariamente a un único nodo terminal $r_* = c(s)$ .