El siguiente problema es en el contexto de continua en el tiempo, aunque tengo la sospecha de que algo puede ser dicho acerca de discretos de tiempo también.
Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:
$$\dot x=f(x)$$
donde $x(t)\in \mathbb{R}^n$, por $t\in I\subconjunto \mathbb{R}$.
Estoy leyendo un libro sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. En este libro, dicen que uno debería verificar algunas condiciones en $f$, por lo general $f\in C^2(E\subconjunto \mathbb{R}^n)$, para asegurarse de que la linealización de $f$ se comporta de una manera cualitativamente similar manera se asegura la existencia de un $C^1$-diffeomorphism).
Considere, por ejemplo, $$\dot x=-x-\frac{y}{ln(\sqrt{x^2+y^2})},\dot y=-y-\frac{x}{ln(\sqrt{x^2+y^2})} $$
con $f(0)=0$. Este $f$ es de sólo $C^1$ no $C^2$(transformación a coordenadas polares$(\theta,r)$ y, a continuación, ver $\frac{d^2 \dot \theta}{dr^2}$ tiende a infinito como $r$ va a cero). La linealización da un nodo estable, pero de acuerdo a una definición más general, tenemos una concentración estable para el original sistema no lineal.
Sin embargo, cada vez que veo cualquier tipo de linealización que se está realizando (DSGE o la Teoría de Crecimiento), no veo ningún problema relacionado con esto... tal vez, hay algo que me estoy perdiendo, que hace económico diff. ecuaciones satisfacen ya esta. O estoy equivocado, y esto simplemente no es, y no debería ser una preocupación teórica de macroeconomists?
Cualquier ayuda se agradece.
