Intuición de las ecuaciones de Kolmogorov

Question

Así que entiendo la derivación de las ecuaciones de Kolmogorov hacia adelante y hacia atrás, pero no entiendo bien la intuición. Aquí es de Stokey, 2008:

"La ecuación hacia atrás implica el tiempo $t$ y la condición inicial $x$ con el estado actual $y$ se mantiene fija. Una EDP similar, la ecuación de Kolmogorov (KFE), implica $t$ y $y$ con el estado inicial $x$ arreglado. La ecuación es útil para caracterizar la distribución límite, si existe".

¿En qué situaciones se dan los dos? Por ejemplo, si conozco el estado actual y me interesa una distribución de probabilidad sobre los posibles estados iniciales, utilizo la ecuación hacia atrás. Si conozco el estado actual y me interesa la distribución de probabilidad sobre el estado en el futuro, utilizo la ecuación hacia delante. ¿Es esto correcto?

Desde un punto de vista más técnico, ¿cómo se definen las condiciones de contorno para estas EDP? ¿Son las condiciones de contorno un resultado de la derivación? Quizá Stokey no sea la mejor referencia sobre este tema...

Answer 1

Intentaré responder a su última pregunta. No he leído el artículo, pero en los modelos de mayor dimensión siempre es difícil encontrar una solución analítica. Si existe una solución analítica (para un modelo muy básico con una variable de estado), es posible derivar las condiciones iniciales para su control y variable de estado de sus ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, en los sistemas en los que no existe una solución analítica, se supone que debes resolverlo numéricamente, en cuyo caso debes dar un valor numérico para una de tus variables (o más hasta que encuentres valores de estado estacionario para todas tus variables).

Después, puedes encontrar los valores de estado estacionario de tus variables en cuyo caso, tus condiciones iniciales no deberían estar tan lejos del nivel de estado estacionario (de lo contrario, habría algunos problemas de convergencia en tu modelo si no eliges los valores iniciales apropiados, cercanos al estado estacionario. Es otra cuestión).

Answer 2

Aquí hay información con respecto a la intuición de cada uno.

El Kolmogorov ecuación de avance se suele denominar ecuación de Fokker-Planck. Es una ecuación diferencial parcial (EDP) que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de una variable sobre un estado. Es decir, supongamos que tenemos información sobre el estado $x$ a la vez $t$ . La ecuación de avance nos indica la distribución de $x$ a la vez $s>t$ .

El Ecuación de Kolmogorov hacia atrás por otro lado se utiliza para entender la probabilidad de que un estado acabe en un conjunto $B$ en algún momento $s$ . Definir una función del estado, $u_s(x)$ . En el momento final $s$ , $u_s(x) = 1$ si $x \in B$ . En caso contrario, es cero. Entonces, para cualquier tiempo $t < s$ , $u_t(x)$ describe la probabilidad de que $X_s$ dado $X_t = x_t$ terminará en el conjunto $B$ . La ecuación de Kolmogorov describe la evolución de la función de probabilidad. $u_s(x)$ entonces es la condición final de esta EDP.

He tomado esta información principalmente de Wikipedia:

• Ecuaciones de Kolmogorov
• Ecuación de Fokker-Planck
• Ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás