Más preguntas sobre la integral del movimiento browniano con respecto al tiempo

Question

Ya se ha publicado una pregunta similar, pero una parte ha quedado sin respuesta. Definamos: $$X_t = \int_0^t W_s ds,$$

donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar. Es $X_t$ ¿un proceso de Itô o una integral de Riemann? Cómo escribir la forma Itô de: $$\int_0^tW_sds\text{ ?}$$ ¿Es correcta la siguiente fórmula? ¿Por qué? $$d\biggl(\int_0^tW_sds\biggl) = W_tdt $$

Answer 1

Efectivamente, es integrable de Riemann, por lo que no se necesita la integración estocástica. Para una trayectoria dada, se puede interpretar la integral en el sentido de Riemann. Para una t dada, las trayectorias son aleatorias, por lo que es una variable aleatoria.

También se puede expresar como un proceso de Ito. Para ver la conexión, basta con aplicar el lema de Ito a $tW_t$ :

$d \left(tW_t\right)=tdW_t+W_tdt$

$W_tdt=d \left(tW_t\right)-tdW_t$

Entonces integra:

$X_t=\int_0^t{W_sds}=tW_t-\int_0^t{sdW_s}$

$\quad =t\int_0^t{dW_s}-\int_0^t{sdW_s}$

$\quad =\int_0^t{\left(t-s\right)dW_s}$

Por lo tanto, se distribuye normalmente. Es fácil comprobar que la media es cero y la varianza también:

$V\left[X_t\right]=\int_0^t{\left(t-s\right)^2ds}=\frac{1}{3}t^3$

Consulte un análisis más detallado aquí: Integral del movimiento browniano con respecto al tiempo

Answer 2

Como es habitual en este tipo de integrales, otra forma de llegar al resultado es

• Expreso $W_s$ en forma integral como $\int_0^s dW_u$
• Utilice el teorema de Fubini para cambiar los límites de integración de la integral doble resultante

Más concretamente, \begin{align} \int_0^t W_s ds &= \int_0^t \int_0^s dW_u ds \\ &= \int_0^t \int_u^t ds dW_u \\ &= \int_0^t (t-u) dW_u \end{align} que es efectivamente una integral de Ito y en este caso una v.r. gaussiana con media cero y varianza dada por la isometría de Ito.