Esto se refiere a los conceptos de teoría de juegos como refinamientos del equilibrio de Nash. El equilibrio secuencial a menudo se define como satisfactorio dos condiciones: consistencia y racionalidad secuencial. Mientras que los Equilibrios Secuenciales Débiles (a veces referidos como Bayes Perfectos Débiles) también necesitan racionalidad secuencial, pero tienen un requisito de consistencia más débil, lo cual es mi principal fuente de confusión. Además, ES y ESD (BPDE) a menudo coinciden como conjuntos de soluciones lo que realmente solo agrega a la frustración de tratar de diferenciar estos conceptos casi idénticos. Mi pregunta principal es, ¿cómo podría verificar el requisito de consistencia para un juego de forma extensa dado?
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Veamos las definiciones de los dos conceptos. Dejemos que $\sigma$ sea un perfil de estrategias y $\mu$ un sistema de creencias.
Un par $(\sigma,\mu)$ es un equilibrio bayesiano débilmente perfecto (WPBE) si
- $\sigma$ es secuencialmente racional dado $\mu , y* $\mu$ se deriva de $\sigma$ utilizando la regla de Bayes siempre que sea aplicable.
y
Un par $(\sigma,\mu)$ es un equilibrio secuencial (SE) si
- $\sigma$ es secuencialmente racional dado $\mu , y* $\mu$ y $\sigma$ son consistentes en el siguiente sentido: Existe una secuencia de estrategias completamente mixtas $\sigma^k\to\sigma$ a medida que $k\to\infty$ tal que, para cada $k$, $\mu^k$ se deriva de $\sigma^k$ utilizando la regla de Bayes (que siempre es aplicable), y que $\mu$ es el límite de $\{\mu^k\}_k$.
De las definiciones, podemos ver que los dos conceptos difieren en sus restricciones de creencias: WPBE requiere que las creencias sean consistentes con la regla de Bayes siempre que sea aplicable, y no impone ninguna restricción en los casos donde la regla de Bayes no se aplica (como cuando se alcanza un conjunto de información con probabilidad cero). Por el contrario, el requisito de consistencia impuesto por SE hace que la regla de Bayes se aplique en todas partes en el árbol al exigir que la creencia de SE sea el límite de una secuencia de creencias derivadas de un perfil de estrategias completamente mixtas.
Para ilustrar, consideremos el siguiente ejemplo de un juego de entrada al mercado. El participante primero decide ingresar ($I$) o quedarse afuera ($O$), y si ingresa, el participante (E) y el residente (R) eligen simultáneamente si pelear ($F$) o abstenerse ($A$).
El equilibrio donde el participante elige $(O,\text{$A$ si $I$})$ y el residente elige $F$, junto con el residente creyendo que el participante elegirá $F$ cuando ingrese, constituyen un WPBE. Claramente la creencia del residente es incorrecta, pero eso está permitido en WPBE porque el conjunto de información en el que el residente toma su decisión se alcanza con probabilidad cero. Por lo tanto, la regla de Bayes no se aplica, y él es libre de tener cualquier creencia.
SE no permitirá que esto suceda, porque tan pronto como $I$ se juegue con una probabilidad positiva (aunque pequeña), la regla de Bayes se aplica en el conjunto de información del residente, y dada la estrategia del participante, la única creencia consistente es asignar probabilidad $1$ al nodo después de $A$. Así que el perfil estratégico $((O,\text{$A$ si $I$}),F)$ no es un SE.
Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema relacionando SE y SPE (equilibrio perfecto en subjuegos):
Si $(\sigma,\mu)$ es un SE, entonces $\sigma$ es un SPE.
