Ito Lema - Integrando depende del límite superior de la integración

Question

Un problema que me encontré mientras practicando el uso de Ito Lema tuvo un proceso con un integrante cuyo integrando depende del límite superior de la integración (el objetivo es encontrar $dZ_{t}$):

$Z_{t}=\int_{0}^{t}e^{\frac{t-s}{2}}\sin(B_{s})dB_{s}$, donde $B$ es un movimiento Browniano estándar

¿De qué manera tengo que tomar esto en cuenta en mis resolver el problema, en todo caso?

Answer 1

Tenga en cuenta que el $$dX_t = b_t dt + \sigma_s dB_t$$ notación para un (local) semi-martingala $X = (X_t)_{t \in [ t_0, T]}$ es una abreviación de

$$ X_t = X_{t_0} + \int _{t_0} ^t b_s~ ds + \int _{t_0} ^t \sigma_s ~dB_s$$

donde $b$ y $\sigma$ puede ser, por ejemplo, de la forma $b_s = b(\omega, s, X_s)$ y $\sigma_s = \sigma(\omega, s, X_s)$ bajo la condición de que no se progressivelly medibles prosses y que $$\ \int _{t_0} ^T b_s ds + \int _{t_0} ^T \sigma_ s^2 ds \ < \infty \quad \mathbb P - como$$

Así, desde $ Z_t = e^{\frac{t}{2}} Y_t$ donde $Y_t:= \int _{0} ^t e^{\frac {s}{2}} \sin( B_s) ~dB_s$, tiene por Itô del Lema

$$ d Z_t = e^{\frac{t}{2}} ~dY_t + \frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}} Y_t ~dt+d\langle e^{\frac{t}{2}} ,Y_t\rangle_t$$

a continuación,

$$ d Z_t = e^{\frac{t}{2}} e^{\frac{-t}{2}} \sin( B_t) ~dB_t + \frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}} \int _{0} ^t e^{\frac {s}{2}} \sin( B_s) ~dB_s$$

para todos $ s\[0, +\infty)$ (tenga en cuenta que $Z_0 =0$)

También tenga en cuenta que debe verifie que $Z$ es bien definido como una integral estocástica, la cual es evidentemente cierto, ya que el integrando es limitado en $[0, +\infty)$