Volatilidad local independiente del tiempo

Question

Supongamos que alguien nos proporciona una superficie de los precios de las llamadas europeas $C(\tau,K)$ donde $\tau$ significa tiempo de maduración y $K$ para la huelga. Según los resultados de Dupire, existe una única función de volatilidad local $\sigma(\tau,K)$ que genera estos precios, y se puede expresar a partir de ellos como $$ \sigma(\tau,K) = \frac{2C_\tau}{K^2C_{KK}}, $$ aquí para simplificar estoy asumiendo que la tasa de interés es cero. Ahora, si sólo tenemos $C(T,K)$ para un solo vencimiento $\tau = T$ ¿es cierto que existe una única volatilidad local independiente del tiempo $\sigma(K)$ que genera este precio a ese vencimiento? En caso de que así sea, ¿existe una fórmula analítica para esa función?

Answer 1

Sí, existe un único modelo de vol local homogéneo en el tiempo. Esto se demuestra en http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414912002487 . Hay una ligera generalización que requiere que si la densidad implícita en la opción es cero en alguna parte, el vol local correspondiente es infinito en esa región, dando una "difusión de brecha".

No, en este caso no hay una buena fórmula para el vol local.

Answer 2

No.

En la práctica, el modelo de volatilidad local tiene un número finito de cortes, por lo que un solo corte también funciona. Ahora el problema es: ¿cómo calcular la derivada temporal? Bien, sin añadir ninguna información se sabe que $$ C(0,K) = (S_0-K)_+ $$ por lo que podría intentar $$ C_\tau = \frac{C(\tau,K)-C(0,K)}{\tau} $$ pero es un muy burdo aproximación. Lo que se puede hacer en su lugar es utilizar primero la fórmula de Dupire con respecto a las volatilidades implícitas y considerar que toda la superficie es plana e igual a la rebanada, tomando así $\Sigma_\tau=0$ . Es equivalente a utilizar la fórmula con respecto a las varianzas totales implícitas $w(\tau,K):=\Sigma^2(\tau,K)\tau$ y calcular la derivada como en el caso anterior: $$ \lim_{\tau \rightarrow 0_+} w(\tau,K) = 0$$ $$ w_\tau(\tau,K) \eqsim \frac{w(\tau,K)-w(0_+,K)}{\tau} = \Sigma^2(\tau,K)$$

Esta es la fórmula con respecto a las varianzas totales (una buena referencia es la de Gatheral La superficie de la volatilidad: Una guía para el profesional ) :

$$ \sigma^2(\tau,K) = \frac{w_\tau(K)}{\displaystyle1-\frac{y}{w(\tau,K)}w_y(\tau,K)+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{w(\tau,K)}+\frac{y^2}{w^2(\tau,K)}\right)(w_y(\tau,K))^2+\frac{1}{2}w_{yy}(\tau,K)} $$ donde $y=\ln(K/S_O)$ y $w_\tau(K)=\Sigma(K)^2$ . Aquí se ve que el denominador sigue dependiendo de $\tau$ a través de $w$ . No hay forma de evitarlo.

El enfoque del precio de vainilla arrojará la misma conclusión, ya que la derivada temporal equivalente tiene que calcularse utilizando el Black-Scholes $\theta$ greek (derivado con respecto al tiempo hasta el vencimiento) con la volatilidad implícita en el strike considerado. La theta de Black-Scholes depende del tiempo hasta el vencimiento incluso sin deriva.

También la volatilidad local generada por una superficie de volatilidad implícita es única obviamente (satisface la ecuación de Dupire).