¿Cuál es la distribución de Browniano Puente sobre un intervalo de tiempo dado?

Question

Sé de Karatzas & Shreve (1991), un Puente Browniano $B(t)$ de $un$ a $b$ en tiempo de intervalo $[0,T]$ satisface:

$A$B(t)=a(1-t/T) + b*t/T + [W(t) - W(T)*t/T]$$

donde $W(t)$ es un estándar unidimensional movimiento Browniano.

Por la ecuación anterior podemos obtener su distribución.

Mi pregunta es ¿cuál es la distribución de la Puente Browniano $B(t)$ de $un$ a $b$ en tiempo de intervalo $[T_1, T_2]$?

Cualquier idea o referencia?

Answer 1

Un puente Browniano puede ser construido simplemente de un proceso forzado. Por ejemplo, si queremos definir el proceso a $Z$ por

$$ Z_{t}=\left(\dfrac{T-t}{T-t_0}\right)\left(a-W_{t_0}\right)+\left(\dfrac{t-t_0}{T-t_0}\right)\left(b-W_{T}\right)+W_{t}\;\;\;; t\in[t_0,T] $$

Donde $W$ es un estándar de movimiento Browniano.

El proceso a $Z$ es un puente Browniano que cumplen las siguientes condiciones: $Z_{t_0}=a$ y $Z_T=b$, en particular, si ponemos $t_0=0$, Entonces el proceso a $Z$ se convierte en $$ Z_{t}=W_{t}+a-\frac{t}{T}\left(W_{T}-b+a\derecho) $$