¿Cómo es el Selector de Opción del valor calculado en este ejemplo?

Question

En la preparación de mi final, estoy intentando hacer una pregunta en el selector de opciones. Una pregunta

Un Europeo selector de opción en un índice de la ETF pagando un rendimiento de 3.0% con strike \$64 años tiene un plazo de vencimiento de T2 = 21 meses y una elección con respecto a la tipo de la opción debe ser hecha después de que T1 = 12 meses. La tasa libre de riesgo es del 7%, el stock de retorno de la volatilidad se supone para ser un 33% por año y en la actualidad una parte de los costos de $61. ¿Cuál es el valor de la opción?

Las respuestas son

Uno de T2-Call = $10.4641; 0.9778 tiempos T1-Poner ($7.0157) con ajustado huelga 62.1085 por un costo total de \$17.32.

Aquí está mi interpretación (lo más probable es incorrecta, pero es necesario para ilustrar mi problema) :

Primero y ante todo, no entiendo cómo podemos valorar esa opción hoy en día , dada la información.

Lo que sí sé es que en el tiempo t = 1 (años), el valor de la opción es de $$V(1) = \mathrm{max}(c,p).$$

En t = 1, ambas opciones tienen el mismo precio de ejercicio (\$64) y el resto de la madurez (0.75 años). Se puede demostrar a través de la put-call parity que $$V(T1) = \mathrm{max}(c,c+e^{-i\cdot 0.75}K-S_{1}e^{-q\cdot 0.75}) \\ = c+e^{-q\cdot 0.75}\mathrm{max}(0,Ke^{-(r-q)\cdot 0.75}-S_{1}).$$

Las constantes son dadas por

• $q$ = rentabilidad por dividendo = 3%
• $r$ = tasa libre de riesgo = 7%
• $K$ = precio de ejercicio = 64
• $S_{1}$ = precio spot en el tiempo 1 = desconocido

Ahora, para calcular el valor de la llamada, necesito el precio spot en t = 1. Este es mi primer problema, ya que no me han dado ninguna información.

¿Cómo puedo mover hacia adelante, desde aquí, encontrar el valor del selector de opción en t = 1, y además su valor en t = 0 (si eso es lo que la pregunta original requiere)?

Answer 1

Aunque la respuesta de @SRKX es justo en el punto, yo ya estaba escribiendo una solución a lo largo de las líneas de cómo se habían específicamente abordado el problema. Yo creo que puede ser útil para usted, así que aquí va

---

El precio de el selector de opción, como se ve de hoy $t=0$ es, por definición, $$\begin{align} V_0 &= \underbrace{e^{-r T_2}}_{\text{Rentabilidad dto factor}} \underbrace{\mathbb{E}\left[\ \ \underbrace{\max\left( \mathbb{E}[(S_{T_2}-K)^+ \vert \mathcal{F}_{T_1}], \mathbb{E}[(K-S_{T_2})^+ \vert \mathcal{F}_{T_1} ] \derecho)}_{\text{Espera que la rentabilidad en $T_2$ como se ve de $T_1$}} \ \ \vert \mathcal{F}_0 \ \ \derecho]}_{\text{Espera que la rentabilidad en $T_2$ como se ve de $t=0$}} \\ &= e^{-r T_2} \mathbb{E}_0\left[ \max\left( \mathbb{E}_{T_1}[(S_{T_2}-K)^+], \mathbb{E}_{T_1}[(K-S_{T_2})^+] \derecho) \right] \end{align}$$ Si usted no está familiarizado con la notación de $\mathcal{F}_t$ utilizados por las filtraciones, se puede interpretar como "toda la información que sabemos en vez de $t$". La notación de $\mathbb{E}_t[.]$ simplemente figuras que la expectativa es tomado de forma condicional en el conocimiento de $\mathcal{F}_t$. Naturalmente, todas estas expectativas son realizadas bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$.

Por definición, también tenemos que el precio de la convocatoria Europea/opciones de venta está dado por $$C(T_1,S_{T_1};K,(T_2-T_1)) = e^{-r(T_2-T_1)} \mathbb{E}_{T_1}[(S_{T_2}-K)^+] \etiqueta{def 1} := C_{12}$$ $$P(T_1,S_{T_1};K,(T_2-T_1)) = e^{-r(T_2-T_1)}\mathbb{E}_{T_1}[(K-S_{T_2})^+] \etiqueta{def 2} := P_{12}$$ donde $C(t,S_t;K,\tau)$ (resp. $P(t,S_t;K,\tau)$) denota el precio de una call Europea (resp. poner) opción como se ve de tiempo $t$, dada la irregular con valor de $S_t$, el precio de ejercicio de $K$ y el tiempo de su vencimiento, $\tau$.

Por lo tanto, $$V_0 = e^{-r T_2} \mathbb{E}_0\left[ \max\left( \frac{C_{12}}{e^{-r(T_2-T_1)}}, \frac{P_{12}}{e^{-r(T_2-T_1)}} \right) \right]$$ Sin embargo, por la llamada de poner la paridad: $$C_{12} - P_{12} = e^{-r(T_2-T_1)}( S_1 e^{(r-q)(T_2-T_1)} - K )$$ de modo que podemos escribir (de manera similar a lo que hizo) $$\begin{align} V_0 &= e^{-r T_2} \mathbb{E}_0\left[ \max\left( \frac{C_{12}}{e^{-r(T_2-T_1)}}, \frac{C_{12}}{e^{-r(T_2-T_1)}} - (S_1e^{(r-q)(T_2-T_1)} - K) \derecho) \right] \\ &= e^{-r T_2} \mathbb{E}_0\left[ \left( \frac{C_{12}}{e^{-r(T_2-T_1)}} + \max\left( 0, K - S_1e^{(r-q)(T_2-T_1)} \right) \derecho) \right] \\ &= \mathbb{E}_0\left[ e^{-rT_1} C_{12} \derecho] + \mathbb{E}_0\left[ e^{-rT_2} \max\left( 0, K - S_1e^{(r-q)(T_2-T_1)} \right) \right] \etiqueta{1} \end{align}$$

Ahora usando $(\text{def } 1)$ el primer término de $(1)$ se convierte en: $$\mathbb{E}_0 \left[ e^{-rT_1} C_{12} \derecho] = \mathbb{E}_0 \left[ e^{-rT_2} \mathbb{E}_{T_1}[(S_{T_2}-K)^+] \derecho] = C(0,S_0;K,T_2)$$ por la torre de la propiedad de los condicionales expectativas.

Del mismo modo, el segundo término de $(1)$ de otra parte puede ser expresado como: $$\begin{align} \mathbb{E}_0\left[ e^{-rT_2} \max\left( 0, K - S_1e^{(r-q)(T_2-T_1)} \right) \right] &= \mathbb{E}_0\left[ \max\left( 0, Ke^{-rT_2} - S_1e^{-rT_1-q(T_2-T_1)} \right) \right] \\ &= e^{-q(T_2-T_1)} \mathbb{E}_0\left[ e^{-r{T_1}} \max\left( 0, Ke^{-(r-q)(T_2-T_1)} - S_1 \derecho) \right] \\ &= e^{-q(T_2-T_1)} P(0,S_0; Ke^{-(r-q)(T_2-T_1)}, T_1) \end{align}$$ De modo que $(1)$ se convierte en $$V_0 = C(0,S_0;K,T_2) + \underbrace{e^{-q(T_2-T_1)}}_{= 0.9778} P(0,S_0; \underbrace{Ke^{-(r-q)(T_2-T_1)}}_{= 62.1085}, T_1)$$ por lo tanto, un $T_2$ llamar golpeado en $K$ + 0.9778 unidades de un $T_1$ poner con ajustado huelga 62.1085.

Answer 2

Puede referirse a una de mis respuestas anteriores aquí para un desarrollo detallado.

En realidad, hay dos maneras que usted puede poner un precio a esta: - el precio de una llamada, además de un puesto con ajustado huelga (como arriba) - un puesto más el precio de una llamada con un ajustado huelga (como en mi respuesta).

La única diferencia es si $\max( a, b ) = b + ( a - b ) ^ +$ o $\max( a, b ) = a + ( b - a )^+$.