La condición de primer orden es $U_1(C(Y),Y)=0$ , donde $U_i$ es la derivada parcial con respecto al $i$ de los argumentos.
Ahora, diferenciar totalmente con respecto a $Y$ : $$U_{12}(C(Y),Y)+U_{11}(C(Y),Y)C'(Y)=0.$$ Esto se puede reajustar para dar $$C'(Y)=-\frac{U_{12}(C(Y),Y)}{U_{11}(C(Y),Y)}.$$
Normalmente, esperamos que la función objetivo sea cóncava (es decir $U_{11}<0$ ), por lo que el signo de $C'(Y)$ es el mismo que el signo de $U_{12}(C(Y),Y)$ .
Normalmente, al aplicar este tipo de truco estático comparativo, la teoría nos dice cuál es el signo de $U_{12}$ debe ser. Por ejemplo, si la producción de un empresario en función del esfuerzo y la habilidad es $y(e,s)$ , se podría pensar que $y_{12}>0$ (es decir, un aumento del esfuerzo produce un mayor aumento de la producción para las personas más cualificadas). El ejercicio análogo al que usted realiza arriba daría entonces como resultado $y_{12}>0\implies e'(s)>0$ por lo que los empresarios más capacitados se esfuerzan más.
Es difícil saber cuál es la hipótesis adecuada sobre $U_{12}$ en su ejemplo podría ser porque no está claro por qué los ingresos están en la función de utilidad en primer lugar y por qué $U$ no sólo está aumentando en $c$ . Tal vez tenga en mente alguna aplicación que pueda precisar esto.
El teorema de la envolvente tendría aquí un uso diferente. Supongamos que encontramos el óptimo $C(Y)$ y se interesan por la cuestión "evaluada en $C(Y)$ ¿Cómo afecta un aumento de los ingresos a la utilidad?
La respuesta es
$$\frac{d U(C(Y),Y)}{dY}=\underbrace{U_1(C(Y),Y)}_{=0}C'(Y)+U_2(C(Y),Y)$$
El teorema de la envolvente nos dice que podemos ignorar el primer término (es decir, el efecto indirecto de $Y$ en $C$ ) porque la condición de primer orden para la elección óptima de $C$ (es decir $U_1=0$ ) garantiza que este efecto sea nulo.
