KPR generalizado: Elasticidad de Frisch

Question

Consideremos la siguiente versión de las preferencias KPR (con $l$ siendo el ocio):

$$ U(c,l) = \left(\left(c\right)^\gamma l^\omega\right)^{1-\sigma}$$

Busco la elasticidad de Frisch:

$$ \frac{\partial(1-l)}{\partial w} \frac{w}{1-l}$$

Tenga en cuenta que $\frac{\partial(1-l)}{\partial w} = -\frac{\partial(l)}{\partial w}$ .

En general, se puede calcular el primer componente como $$ w\frac{\partial l}{\partial w} = \frac{u_l}{u_{ll} - \frac{u^2_{lc}}{u_cc}}$$

Por lo tanto, la elasticidad de Frisch viene dada por

$$ \eta = \frac{u_l}{\frac{u^2_{lc}}{u_cc} - u_{ll}}\frac{1}{1-l}$$

Con las preferencias dadas, tengo que

$$ u_l = \omega l^{\omega-1} c^\gamma K\\ u_c = \gamma c^{\gamma-1}l^\omega K\\ u_{cc} = (2\gamma-1)\gamma c^{\gamma-2}l^\omega K\\ u_{ll} = (2\omega-1)\omega l^{\omega-2}c^\gamma K \\ u_{cl} = 2\gamma c^{\gamma-1} \omega l^{\omega-1}K $$

y entonces la elasticidad de Frisch se reduce a

$$ \eta = \frac{1}{\frac{4\omega}{2\gamma-1} + 1 - 2\omega}\frac{l}{1-l}$$

Hasta cierto punto tiene sentido: como $\sigma$ es la elasticidad intertemporal de sustitución, no aparece aquí. Sin embargo, las curvaturas relativas en $c$ y $l$ aparecen, lo cual está bien. Sin embargo, la elasticidad no es independiente de $l$ . Como estoy un poco en el entorno de KPR (a pesar de añadir curvatura a $c$ ), no esperaba esto.

¿Son correctos mis resultados? ¿Alguien tiene más información sobre este asunto?

Answer 1

En cuanto a la presencia de $l$ en la elasticidad de Frisch, su resultado es correcto. Tengo la impresión de que una elasticidad de Frisch libre de $l$ requiere formas funcionales muy específicas.

Por ejemplo, sabemos que la siguiente función de utilidad

$$U(c,l) = ln(c) +\alpha \frac {(1-l)^{1+1/v}}{1+1/v} \tag{1}$$ da una elasticidad de Frisch independiente de $l$ (y luego $\eta=v$ ).

Podríamos comparar esto con su especificación de utilidad y decir "ah, entonces debemos tener separabilidad aditiva para obtener una elasticidad de Frisch independiente de $l$ "...
No, esto no es suficiente. Tenga en cuenta que esencialmente $(1)$ no expresa la utilidad como una función no lineal positiva del ocio sino como una función no lineal negativa del trabajo, por lo que el término $1-l$ aparece. Esto es fundamental para eliminar $l$ de la expresión final.

Porque, si asumimos la separabilidad aditiva en general, entonces la derivada transversal es cero y nos quedaría

$$\eta = \frac{u_l}{- u_{ll}}\frac{1}{1-l} \tag{2}$$

Si la función de utilidad separable aditivamente se expresa como una función positiva no lineal de $l$ , y no como una función no lineal negativa de $1-l$ , $(2)$ también dependerá de $l$ .

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Además, con su especificación de la función de utilidad, no encuentro que $\sigma$ está fuera de la imagen final. En su lugar encuentro

$$ \eta = \frac{\gamma(1-\sigma)-1}{(\omega+\gamma)(1-\sigma)-1}\frac{l}{1-l}$$

Si $\omega = 1-\gamma$ esto se simplifica a

$$ \eta = \frac{1-\gamma(1-\sigma)}{\sigma}\frac{l}{1-l}$$

Pero estos son cálculos algebraicos traicioneros - deberías volver a comprobarlo.