Aplicación práctica de la tasa Libor, el Modelo de Mercado

Question

Estoy tratando de implementar un proyecto sobre la música de fondo del modelo, se sugiere en el libro "Los Conceptos y la Práctica de la matemática de la financiación" Marca Joshi.

Mi pregunta es relativa a la volatilidad de la estructura, en particular acerca de la matriz de covarianza. Primero de todo, el libro se supone que avanzar $f_j$ ha volatilidad $$ K_j \left(\left(a + b(t_j - t)\derecho)e^{-c(t_j-t)} + d\derecho) $$

por $t < t_j$ y $0$ lo contrario. También, la instantánea de correlación entre las comillas a plazo $f_i$ y $f_j$ se define como $e^{-\beta|t_i - t_j|}$.

Ahora, necesito escribir un método que "calcula la matriz de covarianza para el tiempo de paso".

Me confundo con el hecho de que hay "simultánea" el avance tasas en cada paso de tiempo que tiene que ser simulado, lo que me lleva a las siguientes dos preguntas:

1. Referentes a las dimensiones de la matriz de covarianza, veo que dependen del número de períodos de tiempo (y no en el tiempo tamaño del paso), pero ¿por cuánto tiempo son los períodos de tiempo? Hay una convención?
2. ¿Cómo los elementos de la matriz de covarianza entran en juego? Esto puede sonar un poco estúpido, pero cuando los precios de una swaption, podemos tener los siguientes discretización del logaritmo de la velocidad de avance: $$ \ln F_k^{\Delta t}(t + \Delta t) = \ln F_k^{\Delta t}(t) + \sigma_k(t)\sum_{j = \alpha + 1}^k \frac{\rho_{k,j}\,\tau_j\,\sigma_j(t)\,F_j^{\Delta t}(t)}{1 + \tau_j F_j^{\Delta t}(t)} \Delta t - \\ \frac{\sigma_k(t)^2}{2}\Delta t + \sigma_k(t)\left(Z_k(t + \Delta t) - Z_k(t)\right)$$ No veo cómo la matriz de covarianza ayuda en una simulación de Monte Carlo. Yo podría estar confundiendo conceptos, de modo que un poco de ayuda sería bienvenida.

Answer 1

Para un intercambio, tenemos una secuencia de re-establecimiento y fechas de pago. El # de avance tasas correspondientes al nº de fechas de pago. Por ejemplo, supongamos que tenemos $n$ fechas de pago $t_1, \ldots, t_n$, donde $0< t_1 < \cdots < t_n$. A continuación, hay $n$ forward de tasas.

Durante la simulación, para pasos de tiempo antes de $t_1$ existen $n$ "simultánea" el avance tasas, correspondientes a las fechas de pago $t_1, \ldots, t_n$, mientras que para pasos de tiempo de entre $t_1$ y $t_2$ existen $n-1$ "simultánea" el avance tasas, correspondientes a las fechas de pago $t_2, \ldots, t_n$. Para pasos de tiempo de entre $t_{n-1}$ y $t_n$, sólo hay una única velocidad de avance que corresponde a la última fecha de pago de $t_n$.

Debido a la existencia de estos "simultánea" el avance tasas, excepto para los intervalos de tiempo entre $t_{n-1}$ y $t_n$, la descomposición de Cholesky de la matriz de correlación entre la conducción Browniano movimientos de la actual velocidad de avance de la dinámica que se necesita. Que es como la matriz de covarianza entran en juego en la simulación de Monte Carlo.

Answer 2

Hay dos cosas que pueden ser confusos usted. El paso de tiempo en las dimensiones de Tiempo y pasos de tiempo a lo largo de la curvatura hacia adelante. El primero es dado un tiempo t a partir de hoy hasta que un cierto día en el futuro, este dt por lo general es la próxima fecha de reinicio. El otro es tau representa un tenor para el avance de la curva de maduración en el tau días de antelación. Dtau podría variar en función de cómo se hizo construir su término-de la estructura de tasas de interés.

Con respecto a la covarianza agujero, es una característica esencial del modelo porque es el que deriva de la condición que hace que el modelo de arbitraje libre . no es, exclusivamente, en la swaption pero un genérico LIBOR Mercado Modelo de simulación.