Los griegos de un swaption el uso de Brigo

Question

Yo struggeling con el cálculo de la delta de una swaption. En el caso de la tasa de interés generalmente me lío con los múltiples flujos de efectivo a lo largo del tiempo por lo que el descuento es más complejo que el de la equidad caso.

Permítanme en primer lugar introducir una notación. Se denota con $D(0,T)$ el factor de descuento con vencimiento $T$, $P(0,T)$ el precio de un bono cupón cero con vencimiento $T$ y dejar que $Q$ denotar el riesgo neutral medida.

Por el simple riesgo neutro de valoración sabemos:

$$D(0,0)V_0 = V_0 = E_Q[V_TD(0,T)|\mathcal{F}_t]$$

No estamos interesados en una swaption, donde nos vencimiento de la opción es de $T_\alpha$ subyacente y la swap tiene un tenor $T_\beta$. El valor descontado de la swpation puede ser escrito como

$$D(t,T_\alpha)(S_{\alpha,\beta}(T_\alpha)-K)^+\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(T_\alpha,T_i)$$

donde $\tau_i$ es el daycount convenio entre $T_{i-1}$ y $T_i$.

Ahora, con respecto a valution usando las dos ecuaciones de arriba:

$$ V_0 = E_Q[D(0,T_\alpha)(S_{\alpha,\beta}(T_\alpha)-K)^+\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(T_\alpha,T_i)|\mathcal{F}_0]$$

el uso de un inteligente cambio de numeraire, el intercambio sguare $S$, es decir, el numeraire introducido por $\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(t,T_i)$ rendimiento

$$ V_0 = E_Q[D(0,T_\alpha)(S_{\alpha,\beta}(T_\alpha)-K)^+\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(T_\alpha,T_i)|\mathcal{F}_0]=\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(0,T_i)E_S[(S_{\alpha,\beta}(T_{\alpha})-K)^+|\mathcal{F}_0]$$

Sabemos que en virtud de la medida $S$, el forward swap de tasa de $S_{\alpha,\beta}(t)$ es una martingala. Para el precio que ahora podría sencillo de aplicar Negro fórmula, si asumimos que el forward swap de tasa está normalmente distribuida.

Ahora mi pregunta, si me la iban a aplicar la normal de cálculo para el delta me gustaría conseguir $\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(0,T_i) N(d_1)$, donde $d_1$ es la expresión de Negro 76 fórmula. Sin embargo, este plazo $\sum_{i=\alpha + 1}^\beta\tau_iP(0,T_i)$ me molesta. Estoy completamente equivocado resultados. Si he utilizado sólo $N(d_1)$ iba a obtener resultado razonable. Entonces, mi pregunta, es el delta dado por $N(d_1)$ para un swaption así? Si es así, ¿dónde está mi error?

Por simplicidad puedo añadir un ejemplo con números concretos.

ejemplo Tomamos un swaption con vencimiento a $5$ años y tono subyacente de $5$ años. $S_{\alpha,\beta}(0) = 0.0271$, $\sigma = 0.34$, $r = 0.011$, $T=5$, $K = 0.028$ y anualidad de $A=4.92$. El uso de Negro de 76 debemos obtener por $\Delta$:

$$\Delta = A\cdot N(d_1),$$ donde

$$d_1 = \frac{\log{\frac{S_{\alpha,\beta}(0)}{K}}+\frac{\sigma^2\cdot T}{2}}{\sigma\cdot\sqrt{T}}$$

Aquí puedo obtener los valores $N(d_1) = 0.332296$ y $\Delta = 1.634896$, lo cual no tiene sentido.

Answer 1

Como el swap de tasa de no transables, el delta de cobertura en relación con el punto de swap de tasa no es muy útil. Sin embargo, tenga en cuenta que \begin{align*} V_0 &= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0)N(d_1) - k N(d_2) \big]\\ &= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) S_{\alpha, \beta}(0)N(d_1) - N(d_2) k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\\ &= \Big[P(0, T_{\alpha}) - P(0, T_{\beta})\Big]N(d_1) - N(d_2) k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\\ &= \bigg[P(0, T_{\alpha}) - P(0, T_{\beta})- k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\bigg]N(d_1) \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + \Big[N(d_1)- N(d_2)\Big] k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i). \end{align*} Aquí, \begin{align*} A_{\alpha, \beta} &\triangleq P(0, T_{\alpha}) - P(0, T_{\beta}) - k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\\ &= \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)\big[S_{\alpha, \beta}(0) -k \big] \end{align*} es el valor del subyacente permuta, y \begin{align*} k \sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i) \end{align*} es el valor de una cartera de bonos de cupón cero. Definimos el delta hedge ratio de la swaption a la derivada de la swaption valor con respecto al valor de permuta $A_{\alpha, \beta}$. Tenga en cuenta que \begin{align*} S_{\alpha, \beta}(0) = \frac{A_{\alpha, \beta}}{\sum_{i=\alpha+1}^{\beta}\tau_i P(0, T_i)} + k. \end{align*} Entonces \begin{align*} \frac{\partial V_0}{\partial A_{\alpha, \beta}} &= \frac{\partial V_0}{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} \frac{\partial S_{\alpha, \beta}(0)} {\partial A_{\alpha, \beta}}\\ &= N(d_1), \end{align*} que es, para la cobertura de propósito, la cantidad de swap subyacente a comprar.

Ver alos de la discusión en http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.28.7064&rep=rep1&type=pdf.