Calibración De Merton Salto De Difusión

Question

Considere el siguiente SDE $dV_t = rV_tdt +\sigma V_t dW_t + dJ_t$

donde $J_t$ es un Compuesto proceso de poisson con la log-Normal saltar tamaño $Y_i$.

Cómo se supone que voy a calibrar este modelo a los diferenciales de los CDS? El problema es que no existe una fórmula analítica para la supervivencia de la función de probabilidad...

[EDITAR] Bueno, lo que yo necesitaría es, de hecho, la distribución de la primera golpear tiempo, que es

$\tau = \inf\{t>0 : V_t = x\}$

donde x es algún tipo de barrera $\in R$

$Pr\left\{V_0 e^{(r-(1/2) \sigma^2)t + \sigma W_t + \sum_{i=0}^{N(t)} Y_i} = x \right\} =\\Pr \left\{(r-(1/2)\sigma^2)t + \sigma W_t + \sum_{i=0}^{N(t)}Y_i =\ln(x/V_0) \derecho\} = \\ Pr\left\{\sigma W_t + \sum_{i=0}^{N(t)}Y_i =\ln(x/V_0) - (r-(1/2)\sigma^2)t \right\}$

El problema es que aquí...no sé de distribución que sale en el lado izquierdo

Answer 1

Hola estoy teniendo escribir como una 'respuesta' como soy nuevo en el foro.

Hemos utilizado estocástico de la intensidad de los modelos de escritorio desde hace un tiempo. Generalmente Negro-Karasinski para evitar negativo tasas de riesgo (y de características útiles, tales como la reversión a la media). Ahora en su elección de enfoque estructural con lognormal saltos como algunos de los encuestados han señalado que tendrá que simular para calibrar el modelo de parámetros. que puede ser computacionalmente onerosa particularmente cuando se trata de medidas de riesgo.

Perdóname si te he visto, pero una elegante alternativa son las afín a saltar diffusions, en particular me gusta Brigo del 'JCIR++', basada en una raíz cuadrada proceso exponencial de los saltos. Esto ha analítica probabilidades de supervivencia, Y las intensidades son no negativos. Véase, por ejemplo:

https://www.amazon.co.uk/Interest-Rate-Models-Practice-Inflation/dp/3540221492/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1479854412&sr=8-1&keywords=brigo

Aquí está la SDE

$$d\lambda_t=\kappa(\mu\lambda_t)dt+\nu\sqrt{\lambda_t}dZ_t+dJ_t^{\alpha,\gamma}$$

$\lambda_t$ es la intensidad, el salto llega a la tasa de $\alpha$, y ha de distribución $Exp(\gamma)$. También son capaces de tener reversión a la media. p832, en la referencia que tiene la fórmula para la supervivencia. Pero tal vez eso es noticia vieja para usted, en cuyo caso lo siento!

Answer 2

No hay solución analítica. Usted tiene que resolver numéricamente, ya sea por monte carlo o PIDE.