Una buena es normal si su demanda aumenta los ingresos. Por lo tanto, dejemos que p_x y p_y sea el precio de los bienes con cantidades x y y y que m ser ingresos.
Supongamos que ax>by . Entonces \min\{ax,by\}=by . Al reducir ligeramente x y gastar el dinero ahorrado en y uno obtiene un mejor paquete. Para un paquete óptimo, esto no puede ser.
Del mismo modo, no puede ser óptimo que by>ax . Por lo tanto, en el paquete de consumo óptimo, debe darse el caso de que ax=by . Tampoco es tan difícil ver que el consumidor gastará todos sus ingresos. Así que reescribamos la condición como y=\frac{a}{b}x y lo introducimos en la ecuación presupuestaria p_x x+p_y y=m para conseguir p_x x+ p_y\frac{a}{b}x=m=x\Big(p_x+p_y\frac{a}{b}\Big). Por lo tanto, obtenemos la función de demanda dada por x(p_x,p_y,m)=\frac{m}{p_x+p_y\frac{a}{b}}, que está aumentando claramente en m . Del mismo modo, se demuestra que el otro bien también es normal.
Comentario pedante: Una función diferenciable puede ser creciente en todos los puntos sin que la derivada sea estrictamente positiva en todas partes. La función dada por x\mapsto x^3 tiene derivación 0 en 0 pero está aumentando en todas partes.