¿Los complementos perfectos tienen que ser bienes normales? Si es así, ¿por qué?

Question

Dos bienes $x,y$ son complementos perfectos si tienen la función de utilidad $$U(x,y) = \min \lbrace ax,by \rbrace $$ $$a,b \in \Bbb{Q}^+$$ Mi profesor dijo $x,y$ tienen que ser bienes normales, pero no explicaron por qué lo suficientemente bien como para que pudiera entenderlo.

Mi pregunta:

¿Los complementos perfectos son siempre bienes normales? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Una buena es normal si su demanda aumenta los ingresos. Por lo tanto, dejemos que $p_x$ y $p_y$ sea el precio de los bienes con cantidades $x$ y $y$ y que $m$ ser ingresos.

Supongamos que $ax>by$ . Entonces $\min\{ax,by\}=by$ . Al reducir ligeramente $x$ y gastar el dinero ahorrado en $y$ uno obtiene un mejor paquete. Para un paquete óptimo, esto no puede ser.

Del mismo modo, no puede ser óptimo que $by>ax$ . Por lo tanto, en el paquete de consumo óptimo, debe darse el caso de que $ax=by$ . Tampoco es tan difícil ver que el consumidor gastará todos sus ingresos. Así que reescribamos la condición como $$y=\frac{a}{b}x$$ y lo introducimos en la ecuación presupuestaria $$p_x x+p_y y=m$$ para conseguir $$p_x x+ p_y\frac{a}{b}x=m=x\Big(p_x+p_y\frac{a}{b}\Big).$$ Por lo tanto, obtenemos la función de demanda dada por $$x(p_x,p_y,m)=\frac{m}{p_x+p_y\frac{a}{b}},$$ que está aumentando claramente en $m$ . Del mismo modo, se demuestra que el otro bien también es normal.

Comentario pedante: Una función diferenciable puede ser creciente en todos los puntos sin que la derivada sea estrictamente positiva en todas partes. La función dada por $x\mapsto x^3$ tiene derivación $0$ en $0$ pero está aumentando en todas partes.