Óptimo de consumo en Merton-como la cartera modelo de elección, con una constante de los salarios

Question

Mis Preguntas

Considere el siguiente problema. Es casi idéntico a el clásico de Merton de la cartera problema de elección. Aquí estoy de problemas utilizando el llamado método de Martingala. He proporcionado mi intento una derivación. Tengo tres preguntas:

1. Es esto correcto?
2. ¿Por qué parece como el consumo en ruta es estocástico? Entiendo que podemos tal vez interpretar este problema como idéntica a la de los clásicos Merton el problema en el que el agente tiene algunos de partida de la riqueza $W_0 > 0$. Podemos hacer esto diciendo que $W_0 = \int_0^\infty \pi_t w dt$. Sin embargo, ¿por qué el agente de simple no elegir $C_t = w$? Mi sospecha es que esto depende de los valores relativos de $\rho$ y la tasa de interés $r$.
3. Bajo qué condiciones $C_t = w$, si alguna vez?

Problema de instalación

Un agente inicial de la riqueza $W_0 = 0$, pero recibe un constante flujo de salarios $w$. Hay una de los activos libres de riesgo que paga la tasa de interés $r$ y de riesgo de seguridad que sigue a la dinámica de la $$ \frac{dS}{S} = \mu_S dt + \sigma_S dB_t, $$ donde $B_t$ es un estándar de movimiento browniano.

Ahora, el agente ha de utilidad CRRA. Por lo tanto, su decisión está modelada por el siguiente programa:

\begin{align*} \max_{\{C_t\}_{t=0}^\infty} \quad \mathbb E\left[\int_0^\infty e^{-\rho t} \left ( \frac{C_t^{1-\gamma}}{1 - \gamma} \derecho ) \, \mathrm d t \right ] \\ \text{ s.t. } \mathbb E \left [ \int_0^\infty \pi_t (c_t - w) dt \derecho ] \leq W_0, \end{align*} donde $\pi_t$ es el factor de descuento estocástico, el cual puede ser escrito como $$ \frac{d \pi_t}{\pi_t} = - \mu_{\pi} dt - \sigma_{\pi} d B_t. $$

Mi intento de solución

De continuar con la Martingala, el método de primer orden en la condición de la adecuado de Lagrange son $$ u_c(c_t, t) = e^{-\rho t} C_t^{-\gamma} = \lambda \pi_t, $$ donde $\pi = e^{-r t} \xi_t$, $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange, y la exponencial de la martingala es $\xi_t = \exp\left (-\eta B_t - \frac{t}{2} \eta^2 \right )$. Tenga en cuenta que esta se basa en la suposición de completar los mercados y es equivalente a $$ \frac{d \pi_t}{\pi_t} = - r dt - \eta d B_t, $$ donde $\eta = \frac{\mu_s - r}{\sigma_s}$ es el precio de mercado del riesgo.

El primer orden de condición implica que $C^*_t = \left( \lambda \pi_t e^{\rho t} \derecho )^{-1/\gamma}$. A continuación, podemos sustituir esto en la restricción presupuestaria, y resolver por $\lambda$: \begin{align*} W_0 &= \mathbb E \int_0^\infty \pi_t (C_t^* - w) \, \mathrm d t \\ 0 &= \mathbb E \int_0^\infty \pi_t^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \lambda ^{\frac{-1}{\gamma}} \exp(-\rho t/\gamma) - \pi_t w \, \mathrm d t. \end{align*}

Ahora, con el fin de continuar, hagamos de los intermedios siguientes cálculos: \begin{align*} \mathbb E_0[\pi_t] &= \exp\{-r t\} \\ &\text{y} \\ \mathbb E_0 \left [\pi_t^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \right ] &= \mathbb E_0 \exp \left \{ - \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left (r + \frac 12 \eta^2 \derecho ) t - \frac{\gamma - 1}{\gamma} \eta B(t) \derecho \} \\ &= \exp \left \{ - \frac{\gamma - 1}{\gamma} (r + \frac 12 \eta^2 ) t + \frac 12 \frac{(\gamma - 1)^2}{\gamma^2} \eta^2 t \right \} \\ &= \exp \left \{ -t \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[ r + \frac 12 \eta^2 \frac{1}{\gamma} \derecho] \derecho \}. \end{align*} Debido a las adecuadas condiciones de regularidad, podemos intercambiar el orden de integración para hacer los siguientes cálculos: \begin{align*} \mathbb E \int_0^\infty \pi_t w \, \mathrm d t &= w \int_0^\infty \mathbb E[\pi_t] \, \mathrm d t = w \int_0^\infty \exp(-r t) = \frac{w}{r} \\ \text{y} \\ \mathbb E \int_0^\infty \pi_t^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \exp \left (\frac{-\rho t}{\gamma} \derecho ) \, \mathrm d t &= \int_0^\infty \exp(-t) dt = a^{-1}, \end{align*} donde $a = \frac{\rho}{\gamma} +\frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[r + \frac 12 \eta^2 \frac{1}{\gamma} \derecho ] $. Luego, continuando con la restricción presupuestaria, se puede resolver por $\lambda^{-1/\gamma}$, $$ \lambda^{-1/\gamma} = \frac{c}{r}. $$ A continuación, podemos sustituir esta de nuevo en nuestra expresión para la ruta más óptima de consumo, $$ C^*_t = \frac{c}{r} \pi_t^{-1/\gamma} \exp \left \{ -\frac{1}{\gamma} \rho t \derecho \}. $$

Answer 1

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} %comando corto para inseting abreviada "de manera que" en un entorno matemático \newcommand{\st}{\text{ s.t. }} %de texto en un entorno matemático "como" \newcommand{\como}{\text{ como }} %varios referencia de los comandos de \newcommand{\rref}[1]{(\ref{#1})} \newcommand{\eref}[1]{eq. (\ref{#1})} \newcommand{\fref}[1]{Figura \ref{#1}} %el diferencial d \newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}} %de la varianza y la covarianza$

Parte 1

Sí. Sin embargo, es útil para simplificar la respuesta aún más y a escribir óptimo de consumo en términos de otros. más fácil de observar las cantidades. Aquí está la derivación. Yo también resolver para la cartera.

El cálculo Óptimo de Consumo en términos de Riqueza

Empezar de nuevo con algunos cálculos preliminares relacionadas con la restricción presupuestaria. \begin{align*} \mathbb E_t \left [\pi_T^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \right ] &= \mathbb E_0 \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp \left \{ - \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left (r + \frac 12 \eta^2 \right ) (T-t) - \frac{\gamma - 1}{\gamma} \eta (B(T) - B(t)) \derecho \} \\ &= \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp \left \{ - \frac{\gamma - 1}{\gamma} (r + \frac 12 \eta^2 ) (T-t) + \frac 12 \frac{(\gamma - 1)^2}{\gamma^2} \eta^2 (T-t) \derecho \} \\ &= \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp \left \{ (T-t) \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[ - r + \frac 12 \eta^2 \frac{1}{\gamma} \derecho] \derecho \}. \end{align*} A partir de la restricción presupuestaria \begin{align*} \pi_t W_t &= \E_t \left[\int_t^\infty \pi_s C_s \dd s\derecho] \\ W_t &= \frac{1}{\pi_t} \E_t\left[\int_t^\infty \lambda^{-1/\gamma} e^{-\frac{\rho}{\gamma} s} \pi_s^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \dd s\derecho] \\ &= \frac{1}{\pi_t} \int_t^\infty \lambda^{-1/\gamma} e^{-\frac{\rho}{\gamma} s} \E_t\left[\pi_s^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \right] \dd s \\ &= \frac{1}{\pi_t} \int_t^\infty \lambda^{-1/\gamma} e^{-\frac{\rho}{\gamma} s} \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp\{-(s-t) \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma \derecho]\} \dd s \\ &= \pi^{\frac{-1}{\gamma}} \lambda^{\frac{-1}{\gamma}} \int_t^\infty \exp\left\{ -\frac{\rho}{\gamma} (s-t) - \frac{\rho}{\gamma} t - (s-t) \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma \derecho]\right\} \dd s\\ &= \pi^{\frac{-1}{\gamma}} \lambda^{\frac{-1}{\gamma}} e^{-\frac \rho \gamma t} \int_t^\infty \exp\left\{ - (s-t) \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac{\rho}{\gamma-1} + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma \derecho]\right\} \dd s \\ &= \pi^{\frac{-1}{\gamma}} \lambda^{\frac{-1}{\gamma}} e^{-\frac \rho \gamma t} \frac 1, \end{align*} donde $a = \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac{\rho}{\gamma-1} + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma\derecho]$ (este es el mismo como se define en el intento demostrado en la pregunta). A partir de la derivación óptima de consumo, tenemos $$ C_t^* = \lambda^{-\frac 1 \gamma }e^{-\frac \rho \gamma t} \pi_t^{-\frac 1 \gamma} = a W_t. $$

Derivados de la dinámica óptima de consumo: $\dd C_t^*$.

Para proceder a encontrar la cartera óptima para soportar este nivel de consumo, tenemos que calcular la dinámica de $C_t^*$.

Vamos a mostrar que, a partir de la derivación óptima de consumo, \begin{ecuación} \dd W_t = \frac 1 a \dd C_t^* = \frac 1 un C_t \frac 1 \gamma \left( \eta \dd Z_t + \frac 12 \frac{1+\gamma}{\gamma} \eta^2 \dd t\right). \label{riqueza-dinámica-de-óptimo de consumo} \tag 1 \end{ecuación}

La segunda igualdad se deriva de la siguiente manera.

La segunda igualdad proviene de $\lambda^{-\frac 1 \gamma} = \frac {c} r$ (derivados en el intento dada en la cuestión de la declaración) y de Ito lema aplicado a \begin{align*} C^*_t &= \lambda^{-\frac 1 \gamma }e^{-\frac \rho \gamma t} \pi_t^{-\frac 1 \gamma} \\ &= \frac {c}{r} e^{\rho t} \pi_t)^{-\frac 1 \gamma} \\ &= \frac {c}{r} \xi_t^{-\frac 1 \gamma}. \end{align*} Aquí he añadido la simplificación de la suposición de que $\rho = r$ y he utilizado la definición que $\pi_t = e^{-r t} \xi_t$. El cálculo de Ito lema en óptimo consumo de producto como este: \begin{align*} \dd C_t &= - \frac {wa}{r} \frac 1 \gamma \xi_t^{\frac{-1 - \gamma}{\gamma}} \dd \xi_t + \frac 12 \frac{wa}{r} \frac 1 \gamma \frac{1 + \gamma}{\gamma} \xi_t^{- \frac 1 \gamma - 2} (\dd \xi_t)^2 \\ &= - C_t \frac 1 \gamma \left( \frac{\dd \xi_t}{\xi_t} \derecho) + \frac 12 C_t \frac 1 \gamma \frac{1+\gamma}{\gamma} \left( \frac{\dd \xi_t}{\xi_t}\derecho)^2 \\ &= -C_t \frac 1 \gamma (-\eta \dd B_t) + \frac 12 C_t \frac 1 \gamma \frac{1+\gamma}{\gamma} ( \eta^2 \dd t) \end{align*} Por lo tanto, $$ \frac{ \dd C_t}{C_t} = \frac 1 \gamma \left( \frac 12 \eta^2 \frac{1+\gamma}\gamma \dd t + \eta \dd B_t \derecho). $$

Los términos de búsqueda para derivar la cartera óptima.

Podemos deducir la cartera óptima se derivan de la dinámica de una cartera con una estrategia comercial definida por el peso $\omega_t$ y la comparación de estas dinámicas a la dinámica de la riqueza implícita por la dinámica que hemos calculado para óptimo de consumo.

Si $\omega$ es la fracción de la riqueza que invertir en el riesgo de seguridad y $1-\omega$ es la fracción invertido en los libres de riesgo de seguridad, a continuación, la dinámica de la riqueza puede ser escrito $$ \dd W_t = \omega (\mu-r) W_t \dd t + (r W_t - C_t) \dd t + W_t \omega \sigma \dd Z_t. $$

Ahora, podemos derivar una expresión para $\omega$ por la coincidencia de los términos de esta ecuación con los términos de la ecuación (\ref{riqueza-dinámica-de-óptimo de consumo}). A partir de los términos en $\dd Z_t$, \begin{align*} W_t \omega \sigma &= \frac 1 un C_t \frac 1 \gamma \eta \\ \omega &= \frac \eta {\sigma \gamma}. \end{align*}

Parte 2

Parece que el consumo es estocástico porque el consumo de aquí es estocástico. El consumo de depende del estado de la economía. Es, sin embargo, $\mathcal F_t$-medibles, de manera óptima el consumo en el tiempo $t$ sólo depende de la información disponible en tiempo $t$. Debido a la positiva ratio de Sharpe $\eta$ y finito, la aversión al riesgo, el agente va a invertir en el riesgo de seguridad. Como se mostró anteriormente, el consumo de es una fracción de la riqueza, $C_t^* = un W_t$. La riqueza depende del rendimiento de la agente de inversiones. En los buenos tiempos, el agente consume más. La fracción de la riqueza consumida, $a$, depende de la tasa de interés $r$, subjetiva descuento de $\rho$, la aversión al riesgo $\gamma$, y el precio de mercado del riesgo (ratio de Sharpe) $\eta$.

Parte 3

Una manera en que esto puede ocurrir es que si suponemos que el agente sólo puede invertir en los libres de riesgo de seguridad. Sólo así, dejar que $\eta = 0$. También, supongamos que la tasa de interés es igual a la subjetiva de la tasa de descuento, $r = \rho$.

Haciendo esto, vemos que $\pi_t = \exp\{-r t\}$. También, a partir de la restricción presupuestaria, sabemos que la riqueza es $$ W_t = B_t + \theta_t S_t + \E_t \frac{1}{\pi_t} \int_t^\infty \pi_s w \dd s = B_t + \theta_t S_t + \frac w r, $$ donde $B_t$ es la cantidad de dinero invertido en los libres de riesgo de los activos, $\theta_t$ es la cantidad de dólares invertidos en el riesgo de seguridad de $S_t$, y el resto de término que se espera que el valor presente descontado de los salarios futuros (la expectativa de aquí podría haber sido omitido, ya que $\pi_s$ y $w$ son constantes en este caso, pero he incluido es de consistencia). También, desde $\eta = 0$, $a = r$. Por lo tanto, $$ C_t^* = r W_t = r \left( B_t + \frac w r\derecho). $$ Desde $B_0 = 0$, por supuesto, $C_0 = w$. A grandes rasgos, la inducción-como el argumento nos da que $B_t = 0$ para todo $t$ y, por lo tanto, $$ C_t^* = \frac w r = w. $$