¿Por qué solemos utilizar la distribución normal y la no distribución de Laplace para generar procesos estocásticos?

Question

Cuando se trabaja con un proceso estocástico basado en el movimiento browniano, los incrementos normal (gaussiana) de distribución.

Sin embargo, parece que una de Laplace de distribución, con la densidad:

$$f(t) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |t|} \qquad (t \in \mathbb R)$$

encajaría mucho más devoluciones de EUR/USD, por ejemplo, de una distribución normal. (En particular, los tiene más gordos de las colas de la distribución normal, según se requiera).

Aquí en azul es la densidad de la devuelve, basado en 10 años de datos históricos a 5 minutos de gráfico de EUR/USD. En verde, la densidad de una distribución de Laplace.

Pregunta:

Hay algunos modelos financieros, en los que el proceso estocástico que se usa es:

$$d \, X_t = ... + c \, d \, W_t$$

donde $d\, W_t$ tiene una distribución de Laplace en lugar de una distribución normal?

Answer 1

Es muy natural pensar que el motivo por el supuesto de la distribución Normal está hecha para el proceso estocástico $W_t$ cuando otras más adecuadas y válidas de distribución está disponible especialmente para los modelos de precio de las acciones. Antes de escribir la respuesta a su pregunta de forma explícita, primer vistazo a la definición de Wiener proceso:

Wiener Proceso: Un proceso de Wiener $W_t$, relativa a la familia de la información del conjunto {$\mathscr{F}_t$}, es un proceso estocástico de tal forma que:

1. $W_t$ es de cuadrado integrable martingala con $W_0=0$ y $$\mathbb{E}\big[(W_t-W_s)^2 \big]=t-s, \quad s\leq t$$
2. La ruta de acceso de $W_t$ es continua sobre $t$.

La siguiente definición de plomo en las siguientes características del proceso de Wiener:

• $W_t$ tiene incrementos independientes porque es martingala.

• $W_t$ cero, con una media de y y la media de cada incremento es igual a cero.

• $W_t$ ha varianza $t$

• $W_t$ ha continua caminos.

Tenga en cuenta que, en la definición anterior no se dice nada acerca de la distribución de los incrementos. La normalidad de la distribución de la siguiente manera a partir de la asunción declaró en la definición. Esto se conoce como el famoso Levy Teorema. Si las suposiciones bajo Wiener proceso está satisfecho, entonces Levy teorema de demostrar que Wiener incrementos de $W_t - W_s$, están normalmente distribuidas con media cero y varianza $|t-s|$.

En resumen, para un proceso estocástico tener trayectoria continua e independiente de los incrementos (propiedades naturales de precio de las acciones), la normalidad no es una suposición sino que se deriva de los fundamentos de la asunción de Wiener proceso. Y esta es la razón ninguna otra suposición sobre la distribución de $dW_t$se hace en la literatura, porque la normalidad no es una suposición a todos.

Answer 2

Si usted está dispuesto a soltar la exigencia continua de rutas, o más bien, si usted está dispuesto a relajarse, es posible tener un mayor clase de procesos estocásticos llamados procesos de Lévy. El requisito para que funcione es que la distribución de probabilidad de la variable es infinitamente divisible. La manera más fácil de formular esto es, en términos de la función característica

$$\phi_X(u)=\mathbb{E}[\exp(iuX)]$$

Si para cualquier número entero positivo de $n$ la característica de la función $\phi_X(u)$ es el $$n th potencia de una función característica, entonces tenemos la infinita divisibilidad de la propiedad. Para tales distribuciones, es posible construir procesos de Lévy, es decir, un proceso por el cual $X_0=0$ y los incrementos de $X_{s+t}-X_s$ han $\phi_X(u)^t$ como su función característica.

La distribución de Laplace posee la infinita divisibilidad de la propiedad, su función característica es

$$\phi(u)=(1+\lambda^{-2}u^2)^{-1}$$

y de hecho hay variables aleatorias con funciones características poderes de esta. Las variables que poseen una varianza gamma o generalizada de Laplace de distribución y la distribución de Laplace es, por supuesto, un caso especial de esas distribuciones.

El proceso asociado que se conoce como la varianza de la gamma proceso y se introdujo en las matemáticas financieras por Madan, Seneta, Carr y Chang en la década de los 90.

También hay un salto de difusión del modelo llamado Kou modelo que ha de saltar tamaños que son de Laplace distribuido.