Los griegos de la opción binaria?

Question

Cómo derivar una fórmula analítica de los griegos para la opción binaria?

Sabemos que una de vainilla opción puede ser construido por un activo o nada de la llamada y un dinero en efectivo-o-nada de llamadas, de qué nos sirve esto?

Wikipedia dice

Desde un call binaria es un matemático derivado de una llamada de vainilla con respecto a la huelga, el precio de un call binaria tiene la misma forma como el delta de un vainilla llamada, y el delta de un call binaria tiene la misma forma como el gamma de vainilla llamada.

¿Eso significa que el delta de un binario llamado es también el gamma de vainilla llamar? Podemos utilizar la fórmula analítica para la gamma de vainilla llame para opción binaria?

Answer 1

Para una opción digital con rentabilidad $1_{S_T > K}$, tenga en cuenta que, para $\varepsilon > 0$ lo suficientemente pequeño, \begin{align} 1_{S_T > K} &\approx \frac{(S_T-(K-\varepsilon))^+ - (S_T-K)^+}{-\varepsilon}.\la etiqueta{1} \end{align} Es decir, El valor de la opción digital \begin{align*} D(S_0, T, K, \sigma) &= -\frac{d C(S_0, T, K, \sigma)}{d K}, \end{align*} donde $C(S_0, T, K, \sigma)$ es el llamado precio de la opción con la rentabilidad $(S_T-K)^+$. Aquí, nosotros usamos $d$ en vez de $\parcial de$ destacar la completa derivados.

Si ignoramos el sesgo o la sonrisa, es decir, la volatilidad de los $\sigma$ no depende de la huelga de $K$, entonces \begin{align*} D(S_0, T, K, \sigma) &= -\frac{d C(S_0, T, K, \sigma)}{d K}\\ &= N(d_2)\\ &= N\big(d_1-\sigma \sqrt{T}\big). \etiqueta{2} \end{align*} Que es digital, el precio de la opción tiene la misma forma que la correspondiente opción de llamada delta $N(d_1)$. Del mismo modo, la opción digital delta $\frac{\partial N(d_1-\sigma \sqrt{T})}{\partial S_0}$ tiene la misma forma que la opción de llamada gamma $\frac{\partial N(d_1)}{\partial S_0}$. Aquí, se nota que tienen la misma forma, pero que no son el mismo.

Sin embargo, si tomamos el skew de volatilidad en cuenta, la anterior conclusión no se sostiene. Específicamente, \begin{align*} D(S_0, T, K, \sigma) &= -\frac{d C(S_0, T, K, \sigma)}{d K}\\ &= -\frac{\partial C(S_0, T, K, \sigma)}{\partial K} - \frac{\partial C(S_0, T, K, \sigma)}{\parcial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial K}\\ &= N(d_2) - \frac{\partial C(S_0, T, K, \sigma)}{\parcial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial K},\etiqueta{3} \end{align*} que no pueden tener la misma forma como $N(d_2)=N(d_1-\sigma \sqrt{T})$. En este caso, preferimos valor de la opción digital usando la llamada-propagación de la aproximación dada por (1) anterior en lugar de la fórmula analítica (2) o (3).

Answer 2

Detla (European binaria call) = Gamma (European vainilla Llamada), de Hecho.

Para la derivación, eche un vistazo a:

1- Los Griegos Binaria Call

2 -Opción Europea Griego

****Ps: por Lo tanto, la respuesta habla de sí mismo (cateris paribus)****

Answer 3

Usted puede ver la relación entre la vainilla y de opciones digitales, en un modelo de libre configuración: Vamos a $C$ ser la esencia de vainilla, llamada, $D$ ser la llamada digital, $E[]$ la expectativa debajo de los $T$-adelante medir, y se supone que la madurez $T$ factor de descuento es de 1 a mantener las cosas simples. Entonces

\begin{eqnarray*} C&=& E[(S_T - K)^+] \\ D &=& E[1_{S_T > K}] \\ \frac{\partial C}{\partial S_0} &=& E[\frac{\partial S_T}{\partial S_0} 1_{S_T > K}] \\ \frac{\partial^2 C}{\partial S_0^2} &=& E[\frac{\partial^2 S_T}{\partial S_0^2} 1_{S_T > K}] + E[(\frac{\partial S_T}{\partial S_0})^2 \delta_{S_T = K}] \\ \frac{\partial D}{\partial S_0} &=& E[\frac{\partial S_T}{\partial S_0} \delta_{S_T = K}] \\ \end{eqnarray*}

Además, debajo de los $T$-forward medida que usted tiene $S_T = S_0 M_T$ donde $M_t$ es una martingala con valor 1 en el origen.

Ahora, si se supone que $M_T$ no dependen de $S_0$, como en el de Black & Scholes modelo, o cualquier modelo homogéneo, se obtiene

\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial S_0} &=& E[M_T 1_{S_T > K}] \\ \frac{\partial^2 C}{\partial S_0^2} &=& E[M_T^2 \delta_{S_T = K}] \\ \frac{\partial D}{\partial S_0} &=& E[M_T \delta_{S_T = K}] \\ \end{eqnarray*}

Desde $M_T$ puede ser utilizado como un Radon-Nikodym derivados, se ve que $D$ y $\frac{\partial C}{\partial S_0}$ son las expectativas de la misma cantidad en diferentes medidas, por lo tanto tienen la misma forma pero no son iguales, y lo mismo para $\frac{\partial D}{\partial S_0}$ y $\frac{\partial^2 C}{\partial S_0^2}$.