Superficie de volatilidad local correspondiente a la superficie de volatilidad implícita

Question

En el artículo de Derman/Kani/Zou sobre vol local, reconstruyeron una superficie de vol local a partir de una superficie de vol implícita. Cada volatilidad implícita representada en la superficie del "vol implícito" es la volatilidad implícita de Black-Scholes. Básicamente la volatilidad que tienes que introducir en la fórmula de Black-Scholes para que su valor teórico de la opción coincida con el precio de mercado de la opción.

Papel Derman

Ahora, en el modelo de vol local, extraen el consenso del mercado para las volatilidades locales futuras (S,t), en función del nivel futuro del índice S y del tiempo t, a partir del espectro de precios de las opciones disponibles según sus volatilidades Black-Scholes implícitas. El modelo ajusta un árbol implícito coherente a estos precios de las opciones cotizadas y, a continuación, permite calcular los valores razonables y las exposiciones de todas las opciones (estándar y exóticas), en consonancia con todas los precios iniciales de las opciones líquidas.

Pregunta: Si comparo los gráficos del documento de la superficie de vol implícita y la superficie de vol local ¿por qué es tan diferente? El vol local debería ser coherente con los precios de las opciones líquidas. Por ejemplo, plazo 1,0, nivel 550: superficie implícita 13,5% vol, superficie local 18% vol. Si hay un strike líquido en el mercado deberían tener el mismo vol, ¿estoy en lo cierto?

Muchas gracias

Answer 1

No hay que esperar que el vol local sea igual al vol implícito, salvo en el caso trivial de que ambos sean constantes (modelo Black-Scholes). No he leído los artículos de Derman pero está bastante claro utilizando la fórmula de Dupire (ver el libro de Gatheral por ejemplo).

La volatilidad local puede calcularse en términos de precios de compra utilizando la fórmula de Dupire $$ \sigma^2(T,K) = \frac{\frac{\partial C}{\partial T} + (r - q)K \frac{\partial C}{\partial K} + qC}{ \frac{1}{2} K^2 \frac{\partial^2C}{\partial K^2}} $$ Para obtener la relación con la volatilidad implícita, es mejor pensar en términos de log-moneyness forward $y = \ln(K/F_0^T)$ en lugar de la huelga. Escribir $w(T,y) = T\Sigma^2(T,y)$ para la varianza total implícita, la fórmula de Black-Scholes dice $$ C(T,K) = C_{BS}(T,K,\Sigma(T,\ln(K/F)),r,q) = S_0 \left( N(-\frac{y}{\sqrt{w}} + \frac{1}{2}\sqrt{w}) - e^y N(-\frac{y}{\sqrt{w}} - \frac{1}{2}\sqrt{w}) \right) $$ Introduciéndolo en la fórmula de Dupire, se obtiene
$$ \sigma_{\mathrm{Dup}}(T,K)^2 = \frac{ \frac{\partial w}{\partial T} }{1 - \frac{y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{1}{4}\left( - \frac{1}{4} + \frac{1}{w} + \frac{y^2}{w^2} \right) \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} } $$

Esta fórmula general puede simplificarse en casos límite:

No hay desviación En este caso, $\sigma_{\mathrm{Dup}}(T)^2 = \frac{\partial w}{\partial T} = \Sigma(T)^2 + 2T\Sigma\frac{\partial \Sigma}{\partial T}$ . El vol local ya es diferente del vol implícito a menos que ambos sean constantes (modelo Black-Scholes).

Vencimientos cortos : Cuando $T\to 0$ y las derivadas de la vol implícita permanecen acotadas, se puede comprobar que
$$ \Sigma(0,y) = \frac{1}{\int_0^1 \frac{dt}{\sigma(0,ty)}} $$ para que
$$ \frac{\partial \Sigma}{\partial y} (0,0) = \frac{1}{2}\frac{\partial \sigma_{Dup}}{\partial y} (0,0) $$ En otras palabras, en el dinero, para vencimientos muy cortos, el sesgo de la volatilidad implícita es la mitad del sesgo de la volatilidad local.

También hay que tener en cuenta que si se parte de una superficie de vol implícita dos veces diferenciable, la vol local sólo será continua.

Answer 2

En términos generales:

La volatilidad local es la volatilidad instantánea después del tiempo T si el spot es S en ese momento.

La volatilidad implícita es la volatilidad integrada esperada desde hoy hasta el momento T si el spot termina en S en ese momento.

Answer 3

Añadiendo como respuesta ya que no tengo suficiente reputación para comentar -- hay una errata en la fórmula de vol local de AFK, debería ser: $$\sigma_{\mathrm{Dup}}(T,K)^2 = \frac{ \frac{\partial w}{\partial T} }{1 - \frac{y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{1}{4}\left( - \frac{1}{4} - \frac{1}{w} + \frac{y^2}{w^2} \right) \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} }$$ véase "The Volatility Surface" de Gatheral, p.13, eq. (1.10) (es decir, el signo de $\frac{1}{w}$ en el denominador es erróneo).

Answer 4

Un hecho interesante que explica mucho, al menos para mí, es que la vol implícita tiene que ver con un solo precio de la opción. (Un punto de datos) Mientras que la volatilidad local no se determina a partir de un único precio de la opción de compra en particular, sino por muchos puntos de datos. Para simplificar las cosas, considere 4 puntos de datos vecinos en la superficie. La idea es que la volatilidad local tiene que ver con la forma en que se llega a un precio de la opción de compra a otro, por lo que la volatilidad local no pertenece a un punto de datos en particular.