Pregunta de la entrevista - Apuestas con cartas

Question

Hoy he tenido que responder a preguntas para una entrevista de trabajo y me han hecho estas preguntas. No tenía ni idea de cómo responderlas.

Hay una baraja de 12 cartas numeradas del 1 al 12. Se saca una carta del mazo al azar. La ganancia es de 1 $ x valor de la carta.

¿Cuál es la apuesta máxima que harías en el juego si jugaras una vez?

Si jugaras 10.000 partidas, ¿cuál es la apuesta máxima que harías en cada partida?

Si no te gusta la carta elegida, puedes pedir que saquen otra carta del mazo (sustituyendo la primera), ¿cuál es la apuesta máxima que harías si jugaras una vez?

Answer 1

Todo depende de tu nivel de aversión al riesgo y del grado de sustitución intertemporal.

Supongamos que usted es neutral al riesgo:

1. Se juega una vez: se está dispuesto a pagar $6.5 = \sum^{N=12}_{i=1} \frac{1}{12} i$
2. Se juega 10.000 veces. Todavía dispuesto a jugar 6,5 $ para cada juego.
3. Carta reemplazada: bueno, reemplazas cada vez que tu primer robo es inferior a 6.5. Así que reemplazas con 0.5 de probabilidad. Y usted está dispuesto a pagar 8usd para jugar a este juego.

Ahora bien, si tienes aversión al riesgo, tienes que asumir un coeficiente de aversión al riesgo y una función de utilidad. Digamos que $U = \frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma}$ y $\gamma=2$ .

1. Si se juega una vez, su utilidad esperada es de -0,2586. Esto se traduce en una disposición a pagar 3,86usd por jugar al juego. (edición: la forma de obtener este valor es calcular el equivalente cierto: $-0.25 = \frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma})$ reemplazar $\gamma$ con 2 y resolver para $W$ .
2. Si el juego se juega 10.000 veces, y sin descuento de tiempo, todavía está dispuesto a pagar 6,5usd cada vez para jugar el juego, porque la varianza del pago disminuye.
3. En este caso, seguro que estaría dispuesto a pagar más de 3,86$ pero menos de 8usd. Pero necesitaría dibujar el árbol de decisión para estar seguro.

Por supuesto, como $\gamma$ aumenta su disposición a pagar disminuye.

El caso más complicado es cuando su coeficiente de sustitución intertemporal también importa. En este caso, la respuesta a 1 es similar, pero la respuesta a 2 es completamente diferente. Tendrías que utilizar una función de utilidad de Epstei-Zin y evaluar el resultado.

Después de pensar un poco he editado el punto 2 anterior. La verdad es que si el juego se repite y no hay tiempo de descuento aunque seas averso al riesgo el resultado se acerca más a la neutralidad del riesgo.

La intuición es sencilla si piensas en preferencias de media-varianza tu utilidad es:

$U = E_t[R] - \frac{\gamma}{2} Var(R)$

A medida que aumentas las extracciones, la varianza disminuye como @dm ha señalado correctamente y el segundo término empieza a desaparecer. Aún así, la cantidad máxima que estarías dispuesto a pagar para jugar 10.000 veces es 65.000usd, o 6,5usd por partida.

Aquí está el código para crujir los números se puede ejecutar en matlab con una función de utilidad CRRA que es algo más realista.

% One draw and repeat experiment 100.000 times
N  = 1;
random_draws = randi([1 12],N,100000);

Expected_value = nanmean(random_draws);
Std = std(random_draws);

% Willingness to pay

% Risk_neutral
W2P_neutral = Expected_value;

% Risk-Averse
gamma = 2;
Utility = ((random_draws).^(1-gamma))./(1-gamma);
Expected_utility = nanmean(Utility);

W2P_averse = ((1-gamma)*Expected_utility).^(1/(1-gamma));

% 10,000 draws and repeat experiment 100.000 times
N = 10000
random_draws = randi([1 12],N,100000);

total_money = sum(random_draws,1);

Expected_value = nanmean(total_money);
Std = std(total_money);

% Willingness to pay per draw

% Risk_neutral
W2P_neutral = Expected_value/N;

% Risk-Averse
gamma = 2;
Utility = ((total_money).^(1-gamma))./(1-gamma);
Expected_utility = nanmean(Utility);

W2P_averse = (((1-gamma)*Expected_utility).^(1/(1-gamma)))/N;

Answer 2

Si el juego se desarrolla exactamente de la forma en que lo has planteado, ¿por qué ibas a apostar más de 1 dólar? Suponiendo que apueste 1 \$, then you get 1\$ valor x en la tarjeta. Y si apuestas 12 \$, you get 1\$ x Valor en la tarjeta. ¿Qué sentido tiene apostar más de 1 dólar?

Answer 3

Para profundizar en mi comentario: con respecto a las preguntas 1 y 2, la distribución de la ganancia de una partida es uniforme discreta con una media de 6,5 y una DE de aproximadamente 3,5 según mis cálculos. Ahora bien, si está garantizado que va a jugar 10.000 veces, entonces tiene derecho a considerar la distribución de la suma de los resultados, que según el Teorema Central del Límite es aproximadamente Normal con media 65.000 y DE 3,5*sqrt(10.000) = 350. Por lo tanto, incluso los más aversos al riesgo pueden considerar que la distribución de los resultados de una partida es uniforme discreta con media de 6,5 y DE de aproximadamente 3,5 según mis cálculos. Por lo tanto, incluso el inversor más reacio al riesgo debería estar dispuesto a pagar 64.000, ya que la probabilidad de ganar dinero en ese caso supera el 99%. Creo que esto es lo que espera el entrevistador.

Answer 4

Depende de lo que dure el juego.

Uno supone que el juego es tan divertido como parece, así que la única razón para jugar sería obtener beneficios. Si has respondido 6,50 $ a la primera y segunda pregunta, enhorabuena a medias, deberías conseguir el trabajo porque se te dan bien las matemáticas... pero no esperes que te paguen: acabas de decirle a tu entrevistador que estás dispuesto a hacer chorradas aburridas como este juego a cambio de nada.

Suponiendo que espere un salario, divida ese salario por el número de partidos que se podrían jugar en su año laboral y réstelo del \$6.50. Say you want $ 50k/año trabajando 40h/semana durante 50 semanas/año, si los juegos duran 1 minuto, eso es aproximadamente \$0.41667 (desired profit per minute or equivalently per game); you should be willing to pay up to \$ 6,08 para jugar una vez, y no más de \$6,08333 de media para un conjunto de partidas.

En cuanto a la pregunta de las diez mil partidas, es probable que el entrevistador quiera oír el argumento de que el riesgo es pequeño, como ya han dicho otros; eso es sencillo: la desviación típica $\sigma \approx \$ 350$ , dice dm63, y en sólo $6\sigma \approx \$ 2000$ las probabilidades de perder tanto son de una entre mil millones.

Para la última pregunta, una persona sensata volvería a sacar si la primera carta está por debajo de la media ( $\le6$ ). Por tanto, el valor esperado es $9 {1\over2}$ la mitad del tiempo (cuando no se redibujan) y $6 {1\over2}$ la mitad de las veces (cuando vuelven a sortear), por una media de exactamente 8 $, menos el beneficio medio requerido por partida.

En mi opinión, probablemente te contraten (con sueldo) si explicas claramente la respuesta a la última pregunta. o tienen una buena explicación de SD o si aportas el valor de tu tiempo sin que te lo pidan. Así que una buena pregunta para una entrevista.

Pero no aceptes el trabajo. Cualquiera que sea la empresa que esto es descuidado para hacer la pregunta interesante. Usted no quiere trabajar para ese tipo.

El juego interesante es en el que siempre roba dos cartas y el pago es el valor más alto en dólares.

Dibuja una matriz de cada resultado (donde los índices de fila y columna son las dos cartas):

\begin{bmatrix} 1&2&3&...&12\\ 2&2&3&...&12\\ 3&3&3&...&12\\ &&...&&\\ 12&12&12&...&12\\ \end{bmatrix}

Calcula la media:

$${{\Sigma_{i=1}^{N} i \cdot (2i-1)}\over{N^2}} = {{2\cdot\Sigma_{i=1}^{N} i^2 - \Sigma_{i=1}^{N} i} \over{N^2}} = {{2N(N+1)(2N+1)}\over{6N^2}} - {{N(N+1)}\over{2N^2}} = {{N(N+1)(4N-1)}\over{6N^2}}$$

Por lo tanto, no pague más de $\$ 8.486111$ para jugar, menos tu beneficio deseado.