Que la función objetivo debería elegir para minimizar el error de seguimiento?

Question

Vamos a decir que tengo $n$ los activos y sus ganancias por encima de los $m$ períodos que son representados por una matriz $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$, y tengo algunos otros activos con el regreso en el mismo período, que es representado por un vector $y \in \mathbb{R}^m$.

Mi objetivo es encontrar un vector de pesos $w$ que

$$w^* = \underset{w}{\arg \min} ~ \text{TE}(w)$$

donde $\text{TE}(w)$ es el error de seguimiento se define de la siguiente manera:

$$\text{TE}(w) = \sqrt{\text{Var}(Xw - y)}$$

y

$$\sum_{i=1}^n w_i =1$$

En resumen, quiero replicar $y$ el uso de un portafolio de activos de $X$.

Mi idea era usar la definición exacta del error de seguimiento se mencionó anteriormente, a través de un optimizador.

Sin embargo, alguien sugiere utilizar la siguiente:

$$w^* = \underset{w}{\arg \min} ~ \sum_{i=1}^m (Xw-y)_i^2$$

He probado ambos y me da un mejor seguimiento de error con la primera.

A mí me parece claro que ambos deben devolver exactamente el mismo si en realidad existe alguna $w$, que perfectamente replica $y$.

¿Y si no es el caso?

Hay otro enfoque?

Answer 1

Cuando la realización de un error de seguimiento de optimización, usted va a obtener el mismo resultado mediante el seguimiento de errores al cuadrado, que es sólo la variación relativa de la cartera de pesos. Esto sería sólo encontrar el mínimo de la varianza de la cartera, pero con las condiciones en las pesas. Por ejemplo, sería el equivalente a la vez establecer la minimización de la varianza suponiendo que se tiene una fija -100% de peso en el índice de referencia y optimizar con la suma total de pesos iguales a cero.

Por un corto horizonte de tiempo, si se puede asumir que el retorno esperado es aproximadamente cero, entonces su segunda fórmula es equivalente a la minimización de la varianza. Cuando el horizonte de tiempo es más largo y no es aproximadamente cierto que el rendimiento esperado de cada activo es cero, entonces la segunda fórmula no producirá los mismos pesos.

Answer 2

Es mejor utilizar un modelo de factor, si está disponible. Se que esta pregunta porque usted no tiene acceso a uno?

También, ¿cuál es la naturaleza de los activos que desea realizar un seguimiento? Es un índice o una sola de seguridad? ¿Qué clase de activos? Qué factores de riesgo está expuesto (por ejemplo, tasa de interés y riesgo de crédito versus la volatilidad del mercado bursátil y otros factores de equidad)? La respuesta a tu pregunta depende de lo que usted está siguiendo.