Intuición de las preferencias CES

Question

Hice esta pregunta en math.stackexchange pero la borré de allí y la traje aquí.

Tenía una pregunta sobre la elasticidad constante de las preferencias de tipo sustitución de la forma $$U=\int_{0}^{1}(c(\omega)^{\rho}d\omega)^{\frac{1}{\rho}}$$ donde el parámetro $\rho$ rige el grado de sustituibilidad entre los bienes. Aquí, $c(\omega)$ representa el consumo del bien $\omega$ que existe en el intervalo unitario. Como tal, este tipo de especificación de preferencias agrega sobre el consumo de diferentes bienes.

Mi pregunta es la siguiente. Siempre he pensado en integrales de la forma $$I=\int f(x)dx$$ como sumas aproximadas de áreas de rectángulos infinitesimales (en función de su base) y alturas determinadas por $f(x)$ . En el caso del ejemplo anterior, lo que realmente es $c(\omega)$ ? ¿Es una función?

Answer 1

Tengo la impresión de que la expresión correcta de las preferencias "Dixit-Stiglitz" es

$$U=\left(\int_{0}^{1}c(\omega)^{\rho}d\omega\right)^{\frac{1}{\rho}}$$

que entonces puede verse como una encarnación continua (en [0,1]) de, digamos

$$\left (\sum_{i=1}^na_i\omega_i^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}$$

con $c(\omega_i) = a_i^{1/\rho}\omega_i$ .

En otras palabras, una integral definida (Riemann) se concibe efectivamente como una suma de rectángulos infinitesimales, pero también puede verse como la encarnación continua de una suma.

Un vínculo formal entre una integral y una suma lo proporciona el Fórmula de Euler-MacLaurin .

Answer 2

Sí, es una función, al igual que usted tiene $f(x)$ , leído como $f$ de $x$ , $c(w)$ es $c$ de $w$ (en palabras de un profano). Simplemente $c$ es la función de $w$ de los bienes. Dependiendo de la forma de la función de consumo, el resultado es el área bajo la $c$ curva evaluada en cada intervalo infinitesimal en $w$ .