Procesos de difusión del Itô en las finanzas con distribución desconocida a un valor terminal

Question

En varios documentos se argumenta que para muchos procesos de difusión de Itô, $$dX_t = a(t,X_t)dt+b(t,X_t)dB_t,$$ en las finanzas matemáticas la distribución de $X_T$ para el fijo $T>0$ es desconocida, lo que hace que las simulaciones de Monte Carlo sean viables si no son necesarias incluso para el cálculo de las opciones europeas.

Sin embargo, todos los modelos utilizados en las finanzas matemáticas que me vienen inmediatamente a la mente son procesos cuya distribución es conocida, como el movimiento Browniano geométrico y el proceso Cox-Ingersoll-Ross.

¿Cuáles serían los ejemplos de procesos de difusión, preferiblemente de uso generalizado, de la forma anterior para los que la distribución de $X_T$ es desconocido?

Answer 1

Si permite $X_t$ sea bidimensional, entonces un modelo con un precio de las acciones $X_t^1$ y su proceso de variación $X_t^2$ (volatilidad estocástica) se ajustaría a su definición.

En estos casos, que yo sepa, no solemos tener una forma cerrada de la densidad de $X_T^1$ pero en algunos casos tenemos una forma cerrada de la transformada de Laplace.

Un ejemplo es el Modelo Heston .

Answer 2

Cualquiera de una amplia variedad de modelos de vol local, donde (desde su ecuación) $b(\cdot,\cdot)$ es alguna superficie ajustada, es poco probable que tenga soluciones de forma cerrada para la distribución terminal. De hecho, es bien sabido que estos modelos tienden a tener estructuras temporales de volatilidad muy inusuales.

Como ejemplo concreto, tomemos $b(\cdot,\cdot)$ para ser una aproximación derivada de los primeros términos de la representación de Fourier 2-d de algún ajuste de vol local de alta resolución $\tilde{b}(\cdot,\cdot)$ .

Nuestra SDE se convierte en $$ dX_t=\mu(t)dt+dB_t\sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}} \exp\left( i\vec{c}_{\vec{k}}\cdot \binom{t}{X_t} \right) $$

Estoy bastante seguro de que no habrá una forma cerrada.