La volatilidad implícita y la volatilidad no constante

Question

John Hull afirma en su texto que "COMO el plazo de vencimiento de la opción se aumenta el porcentaje de impacto de la volatilidad no constante en (opción) los precios se hace más pronunciada, pero su porcentaje de impacto en la volatilidad implícita generalmente se vuelve menos pronunciada."

Estoy teniendo dificultades para entender lo que quiere decir aquí.

1. ¿No constante volatilidad de producir una mayor opción de precios de una constante volatilidad de opciones con el mismo subyacente, la huelga y el tiempo hasta la madurez ?

2. ¿Cómo funciona una volatilidad no constante efecto de la volatilidad implícita / ¿cuál es la relación que tenemos aquí ?

Answer 1

En general, $v = \frac{\partial C}{\parcial \sigma} > 0$ y $\theta = \frac{\partial C}{\partial t} < 0$. Si la madurez $T$ aumenta de $C$ aumenta. Supongamos que la volatilidad no es constante. Entonces si $T$ aumenta, el valor de la opción es más volátil, ya que el precio de las acciones es más volátil. Desde $v > 0$ el precio de la opción debe aumentar. Afirma que $\frac{\partial v}{\partial T} > 0$. Deje que $\phi(x)$ representan el estándar de densidad normal. A continuación voy a derivar $\frac{\partial v}{\partial T}$.

$$\begin{align*} v &= S\phi(d_1)\sqrt{T} \\ \frac{\partial v}{\partial T} &= 0.5 T^{-0.5 S}\phi(d_1) - d_1 v \cdot \frac{\partial v}{\partial T}d_1 \\ &= \frac{v}{t} \left(\frac{2 - d_3}{2} \right) \end{align*}$$

donde $d_3 = d_1 - \frac{2\ln(S/K)}{\sigma\sqrt{T}}$. Este término es > 0 si $d_3 < 2$. Desde mi entender, el porcentaje de impacto de la volatilidad implícita podría disminuir si la derivada parcial es negativo ($d_3 > 2$). Si $\sigma(t)$ representa la volatilidad no constante y $v(t) = \frac{\partial C}{\parcial \sigma(t)}$, entonces $\frac{\partial v(t)}{\partial T}$ debe ser > 0.

Yo creo que un modelo GARCH (no constante volatilidad) podría resultar en un mayor o menor precio que el de la fórmula Black-Scholes (constante, la volatilidad implícita). Por ejemplo, ver aquí

EDIT 1 (ignorar arriba)

(A) "Como el plazo de vencimiento de la opción aumenta el porcentaje de impacto de la no-constante volatilidad (opción) los precios se hace más pronunciada"

(B) "Como el plazo de vencimiento de la opción aumenta, el porcentaje de impacto de la no-constante volatilidad de la volatilidad implícita generalmente se vuelve menos pronunciada."

1. No constante volatilidad de producir una mayor opción de precios de una constante volatilidad de opciones con el mismo subyacente, la huelga y el tiempo hasta la madurez?

2. Cómo un no-constante volatilidad de los efectos de la volatilidad implícita / ¿cuál es la relación que tenemos aquí ?

Más tiempo para el vencimiento, el precio de las acciones puede fluctuar más. Esto significa que el valor de la opción puede fluctuar más. Debido a la volatilidad (en particular, la no-constante volatilidad) es probable que cambie el precio de las acciones más dada una cantidad de tiempo más larga, el precio de la opción va a cambiar más. Así es como yo interpreto (Una).

Un promedio de volatilidad se vuelve más estable en el tiempo. La volatilidad implícita es un estimado constante de la volatilidad. Por lo tanto, a medida que aumenta el tiempo, la volatilidad implícita se cambio de menos, ya que el promedio no constante volatilidad seguirá siendo más o menos el mismo. Así es como yo interpreto (B).

1. No constante volatilidad puede producir una mayor opción de precios, pero esto no es siempre cierto.

2. Me explicó esta pregunta en mi interpretación de (B).

Answer 2

En black-scholes el precio de la opción no depende de sigma^2 pero en sigma^2 T. Así que si la volatilidad va a ser del 20% o el 21% en los próximos 10 años (supongamos por simplicidad, no hay otros valores son posibles, sólo a estos dos con igual prob, pero no sabemos cual), a continuación, que tendrá un mayor impacto sobre el valor de la opción de un 20 vs 21 de incertidumbre para 1 año de opción. Eso es al menos en parte lo que está pasando aquí.