Puede integrales de ser interpretado de forma simultánea como agregados y promedios? (Mas-Colell et al. De 1995, la Proposición 4.C.4)

Question

Actualmente estoy leyendo el capítulo 4 de Mas-Colell, Whinston y Green (1995). Tengo un problema con la manera en que las integrales son tratados. Por ejemplo, la Proposición 4.C.4 (p.113) afirma que cuando la riqueza se distribuye de forma homogénea en $[0,T]$, el total y el promedio de la función de demanda son: $$x(p) = \int_0^W x(p,w) dw $$

Donde $x(p,w)$ es una demanda individual (cada individuo tiene las mismas preferencias, sus demandas sólo se diferencian en la cantidad de riqueza).

Sin embargo, creo que la forma correcta de escribir la media sería: $$x(p) = \int_0^W \frac1W x(p,w) dw $$ porque esta es la definición del valor esperado.

Estoy equivocado? Cuando el uso de las integrales, puedo asumir que los promedios son iguales a los agregados? Este un gran problema para mí, porque en el ejercicio 4.C.10 se pide demostrar que $$C(p,w)=\int_0^W S(p,w)dw - S(p,W)=-D_w x(p).x^T(p)+\int_0^WD_w x(p,w).x^T(p,w)dw$$ es positiva definida, donde $S(p,w)$ son individuales Slutsky matrices, y $S(p,W)$ es la matriz de Slutsky de la demanda agregada.

Pensé para definir $w=aW$ con $un$ distribuidos de manera uniforme en un intervalo. Por lo tanto, podría re-definir $x(p)=x(p,W)$ y diferenciar $x(p)=x(p,W)$ y $x(p,w)=x(p,aW)$ con respecto a $W$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo definir un intervalo de $un$ que el promedio de riqueza es equivalente al total de la riqueza mediante $w=aW$.

Nota: Proposición 4.C.4 se basa en un ejemplo dado por Hildebrand (1983) ("En la Ley de la Demanda"). He leído el artículo y se asume que la riqueza se distribuye en $[0,1]$. Con este intervalo, la demanda agregada es igual a la demanda promedio. ¿Esto significa que la Proposición 4.C.4 está mal escrito? Si es así, tengo un problema con el ejercicio 4.C.10 porque necesito un intervalo para un ejemplo de que la riqueza agregada es igual a la media de la riqueza.

Answer 1

Hablé con mi profesor para intentar conseguir una manija en la pregunta.

Usted está en lo correcto que generalmente

$$\overline {f(x)} = \frac{1}{b}\int^b_a f(x) dx$$

Pero para la función de demanda, hay dos argumentos, $w$ y $p$.

$$x(p) = \int_0^\bar W \tilde x(p,w) dw$$

• La izquierda ya no es más una función de $w$. La integral es simplificar la riqueza de la imagen, pero no estamos en un promedio de más riqueza.
• Todas las preferencias de los consumidores son idénticos. Por el bien del argumento, supongamos que hay $$ n de los consumidores. No estamos multiplicando por $$ n en el interior de la integral, por lo que no necesitamos dividir nada (como $n$) a través de la parte exterior de la integral. La "agregación" se está produciendo sobre todo a los consumidores.