¿Se cumple el teorema de la envolvente en una solución de esquina?

Question

Supongamos que tenemos la siguiente función de producción:

$$F(L,K)=\max_{L_K}H(L,L_K,K)=\max_{L_K}\left[(L-L_K+1)^\alpha(L_K+K)^{1-\alpha}\right]=(L-L_K^*+1)^\alpha(L_K^*+K)^{1-\alpha}$$

Con la restricción $L_K\in[0,L]$ .

Sabemos que $$\frac {dH}{dL_K}=\alpha(L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$$ Por lo tanto, el valor de $L_K$ en el que la derivada es cero es $L_K^0=\frac {(1-\alpha)(L+1)+\alpha K}{1-2\alpha}$ . Y el valor óptimo $L_K^*$ es: $$ L_K^*=\begin{cases} L_K^0 &\text{ if } &0<L_K<L &(1)\\ L&\text { if } &L<L_K^0&(2)\\ 0 &\text { if } &L_K^0<0 &(3) \end{cases} $$

Está claro que si $L_K^*\in(0,L)$ (caso $(1)$ ), se cumple el teorema de la envolvente:

$$\frac d {dL} F(L,K)=\frac \partial {\partial L}H(L,L_K^*,K)=\alpha(L-L_K^*+1)^{-1}\cdot F(L,K)$$

Además, en el tercer caso (3), también tengo claro que se cumple el teorema de la envolvente. Sin embargo, no estoy tan seguro del segundo caso (2) . Yo diría que el teorema de la envolvente no se cumple en este caso porque si sustituimos $L_K^*$ en la función de producción original, obtenemos $$F(L,K)=1^\alpha(L+K)^{1-\alpha}$$ Y la derivada con respecto a $L$ en este caso es $$ (1-\alpha)(L+K)^{-1}\cdot F(L,K)$$

Para que el teorema de la envolvente se cumpla en el caso 3, esto requeriría $\alpha= (1-\alpha)(L+K)^{-1}$ que casi siempre no se cumple.

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Pero la razón por la que esto me confunde es que en esta pregunta Me remitieron a este documento que tiene un teorema que dice:

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Así que mi pregunta es:

1. ¿Estoy en lo cierto en que el teorema de la envolvente no se cumple cuando $L_K$ ¿está en una esquina la solución?

2. ¿Esto contradice el teorema o lo he entendido mal? Si no es así, ¿es correcto el teorema?

Answer 1

En primer lugar, has cometido un error de signo en los cálculos. Después de corregir tu error, una hipótesis crucial que se te escapa es que $X$ el conjunto de opciones, no depende de la variable $t$ en el teorema (con las notaciones del teorema). Para aplicar correctamente el teorema, el intervalo $[0,L]$ no debe depender de $L$ .

A) El error de signo

$$\frac{\partial H}{\partial L_K}=-\alpha (L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$$ Definimos $L_K^0= (1-\alpha)(L+1)-\alpha K$ .

B) Por qué podríamos pensar que el resultado del teorema de la envolvente puede fallar

Suponiendo que $0<\alpha<1$ hay cuatro casos posibles.

(1) $L_K^0\in [0,L]$ . Se puede comprobar que la función objetivo es cóncava, por lo que $L_K^*=L_K^0$ .

(2.i) $L_K^0\notin [0,L]$ y $H(L,0,K)< H(L,L,K)$ . Entonces $L_K^*=0$ .

(2.ii) $L_K^0\notin [0,L]$ y $H(L,0,K)> H(L,L,K)$ . Entonces $L_K^*=L$ .

(2.iii) (sólo para ser exhaustivos) $L_K^0\notin [0,L]$ y $H(L,0,K)= H(L,L,K)$ . Entonces hay dos soluciones, $0$ y $L$ .

En el caso (1), $$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L^*_K,K)+\frac{\partial L^*_K}{\partial L}.\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L^*_K,K).$$ El segundo término del lado derecho es igual a cero gracias a la condición de primer orden. Es decir compatible con el resultado del teorema envolvente para una solución interior.

En el caso (2.i), $F(L,K)=H(L,0,K)$ y así $$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,0,K).$$ Esto es compatible con el resultado del teorema de la envolvente para una solución de esquina aquí.

En el caso (2.ii), $F(L,K)=H(L,L,K)$ y así $$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L_K=L,K)+\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L_K=L,K).$$

Debemos ser prudentes con las anotaciones, $\frac{\partial H}{\partial L}$ la derivada parcial correspondiente al primer argumento, y $\frac{\partial H}{\partial L_K}$ a la segunda. El segundo término del lado derecho es distinto de cero, lo que no encaja con el resultado del teorema de la envolvente .

C) Por qué no falla realmente

Escriba el problema como $F(L,K)=\max_{x\in [0,1]}H(x,L,K)$ con $$H(x,L,K)=(L-x L+1)^\alpha(x L+K)^{1-\alpha}.$$ Este problema es equivalente al inicial. La diferencia fundamental es que el intervalo $[0,1]$ no depende de $L$ o $K$ . Esta es la razón por la que podemos aplicar el teorema de la envolvente, mientras que antes era erróneo aplicarlo.

Podemos comprobar que el caso (2.ii) es compatible con el teorema de la envolvente, tenemos $F(L,K)=H(x=1,L,K)$ y así $$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(x=1,L,K).$$