Análisis de componentes principales de la variación de la curva de rendimiento

Question

Las siguientes imágenes son las Principal Component Analysis para el cambio de la curva de rendimiento de

https://www.coursera.org/learn/interest-rate-models/lecture/ZHMM6/principal-component-analysis

¿Por qué la primera carga (factor) es exactamente el nivel; la segunda, la pendiente; etc.?

Y podemos ver el libro de John Hull Options, Futures and Other Derivatives 9th page 514. Es totalmente opuesto a la afirmación anterior. Conoce el loading de cada factor y de la madurez primero, y luego utilizar la varianza de factor score para determinar qué factor es el más importante.

En la versión de John Hull en realidad no sé cómo observar directamente la carga de un factor para un rendimiento específico, por ejemplo el slope factor of 2-year yield ?

Así que estoy realmente confundido aquí, ¿cuál es el correcto en la práctica real?

El libro de John Hull Options, Futures and Other Derivatives 9th page 514:

Answer 1

Para poner las cosas en contexto, si $\{{\bf X}_i\}_{i=1}^n$ es un conjunto de variables y $\{{\bf Y}_j\}_{j=1}^n$ denotan los componentes principales de ${\bf X}$ entonces

$$ {\bf X}_j = \mu_j + \sum_{k=1}^n{\bf Y}_k A_{jk} \tag{1} $$

donde $\mu = \mathbb{E}[{\bf X}]$ y $A$ es la representación diagonal de la matriz de correlación $\Sigma = \mathbb{C}{\rm ov}[{\bf X}]$ . El objetivo del análisis PCA es truncar la Ec. (1) a un número determinado de términos $k_\max \leq n$

$$ {\bf X}_j \approx \mu_j + \sum_{k=1}^{k_\max}{\bf Y}_k A_{jk} \tag{2} $$

Los valores más pequeños de $k_\max$ contienen la mayor parte de la información necesaria para reconstruir el conjunto de observaciones ${\bf X}$ . Se puede pensar en esto como una expansión de Taylor

$$ {\bf X}_j \approx \mu_j + {\bf Y}_1 \color{red}{A_{j1}} + {\bf Y}_2 \color{blue}{A_{j2}} + {\bf Y}_3 \color{orange}{A_{j3}} + \cdots \tag{3} $$

donde los coeficientes de la expansión son $\color{red}{A_{j1}}$ , $\color{blue}{A_{j2}}$ , $\color{orange}{A_{j3}}$ , $\cdots$ . En esta imagen estos coeficientes corresponderían a $0$ -a, $1-$ st, $2-$ nd, $\cdots$ derivados, para poder llamarlos

• $a_1 = \{\color{red}{A_{j1}}\}_j$ nivel
• $a_2 = \{\color{blue}{A_{j2}}\}_j$ pendiente
• $a_3 = \{\color{orange}{A_{j3}}\}_j$ curvatura

Este es un ejemplo para el mercado suizo

Answer 2

Podemos calcular los componentes principales encontrando los valores propios y los vectores propios de la matriz de covarianza. El mayor valor propio representa la mayor varianza, el segundo valor propio la segunda mayor varianza, etc.

Al trazar los componentes de los vectores propios podemos identificarlos con, por ejemplo, desplazamientos, inclinaciones, flexiones, etc. Por ejemplo, en el caso de una curva de rendimiento, solemos tener que el primer vector propio tiene todos los componentes positivos (desplazamiento del nivel paralelo), el segundo vector propio tiene la primera mitad de los componentes positivos y la segunda mitad negativos (inclinación de la pendiente), el tercer vector propio tiene el primer tercio de los componentes positivos, el segundo tercio negativo y el último tercio positivo (flexión).

Lo que ocurre es que la mayor varianza proviene de un desplazamiento paralelo de la curva, la segunda mayor varianza proviene de una inclinación de la curva y la tercera mayor varianza proviene de una flexión de la curva. No es necesario que sea así La dinámica del mercado se puede identificar con los componentes principales.