Opción Theta: ¿Qué condiciones son necesarias para que Theta > P/N, donde P = precio de la opción, y N = días hasta el vencimiento?

Question

El Definición de Theta en la wikipedia es:

Y la gente a menudo se refiere a la imagen de abajo, para mostrar lo que sucede típicamente con el valor de una opción en función del tiempo; podemos notar que esto no es lineal, con la mayor pérdida de tiempo que ocurre a medida que uno se acerca a la expiración. Como tal, en términos generales, uno (yo) esperaría que en cualquier punto dado en el tiempo, la theta de una opción sería generalmente menor que su precio actual, dividido por los días restantes; la razón es que va a seguir decayendo más rápido, de una manera no lineal.

Así, si una opción out-of-the-money (todo valor temporal) tiene un precio P (digamos $3.00), and there are N days to expiration (say 45), can you help me understand scenarios where theta would be 1) greater than P/N ( > $ 3,00/45) y 2) menos de P/N?

Nota final: De las recientes opciones PUT muy fuera del dinero que miré en SPY, en cada caso cayeron en el caso 1 para mi sorpresa. A 45 días del vencimiento, su theta era significativamente mayor que su precio dividido por 45. Entonces, me pregunto qué condiciones resultan en el caso 1 -- ¿qué causa que esto suceda?

Answer 1

"Así, si una opción out-of-the-money (todo valor temporal) tiene un precio P (digamos 3,00 dólares), y hay N días..."

El valor extrínseco no está determinado únicamente por el valor temporal, como sugiere tu cita. También se basa en la volatilidad y la demanda. Esta es una cita de http://www.tradingmarkets.com/options/trading-lessons/the-mystery-of-option-extrinsic-value-767484.html distinguir entre el valor extrínseco del tiempo y el valor extrínseco no temporal:

El valor temporal de una opción es totalmente predecible. La prima del valor temporal disminuye a un ritmo acelerado, y la mayor parte de la disminución del tiempo se produce en los últimos uno o dos meses antes del vencimiento. Esto ocurre en una curva predecible.

El valor intrínseco también es predecible y fácil de seguir. Tiene un valor de un punto por cada punto que la opción está en el dinero. Por ejemplo, una opción de compra con un strike de 30 tiene tres puntos de valor intrínseco cuando el valor actual de la acción subyacente es $33 per share; and a 40 put has two points of intrinsic value when the underlying stock is worth $ 38.

El tercer tipo de prima, el valor extrínseco, aumenta o disminuye cuando la acción subyacente cambia y cuando la distancia entre el valor actual de la acción y el strike de la opción se acercan. Como síntoma de la volatilidad, el valor extrínseco puede ser mayor para las acciones subyacentes muy volátiles y menor para las menos volátiles. El valor extrínseco es la única clasificación de la prima de la opción que es imprevisible.

Los SPY que señalas probablemente tenían un componente de volatilidad que afectaba al valor. Esta parte es un factor de expectativas o incertidumbre. Así que un evento que se espera que concluya antes del vencimiento, pero de resultado desconocido puede hacer que theta sea mayor que p/n. Por ejemplo, una empresa farmacéutica está siendo demandada y el resultado de un juicio determinará si esa empresa paga millones o no. La extrínseca será mayor que p/n antes del resultado del juicio y luego caerá después.

Por supuesto, la situación más común en la que esto ocurre es la de las ganancias. Después del anuncio, no es raro ver una caída dramática en la parte extrínseca de las opciones. Por eso, a veces un nuevo operador de opciones se enfada al comprar opciones de compra antes de las ganancias. Cuando se anuncian unos buenos resultados "sorpresa", como se esperaba, la subida del precio de las acciones se ve compensada en gran medida por la caída del valor extrínseco, lo que hace que los titulares de las opciones de compra obtengan pocas ganancias o ninguna.

En cuanto a la situación inversa, en la que theta es menor de lo que p/n esperaría Bueno, en realidad puedes tener theta negativo, lo que significa que la parte extrínseca aumenta con el tiempo. (esta afirmación es un poco confusa porque theta se describe normalmente como negativo, pero como lo describes como un número positivo, negativo aquí significa lo contrario de lo que se esperaría).

Esta es una cita de "Option Volatility & Pricing". Tenga en cuenta que utilizan theta "positivo" para referirse al valor temporal aumenta con el tiempo:

¿Es posible que una opción tenga un theta positivo de tal manera que, si nada cambia, la opción valga mañana más que hoy? Cuando las opciones de futuros están sujetas a una liquidación de tipo bursátil, como ocurre actualmente en Estados Unidos, el coste de mantenimiento de una opción muy in-the-money, ya sea una opción de compra o de venta, puede, en algunas circunstancias, ser mayor que el componente de volatilidad. Si esto ocurre, y la opción es europea (no se permite el ejercicio anticipado), tendrá un valor teórico inferior a la paridad (inferior al valor intrínseco). A medida que se acerque el vencimiento, el valor de la opción aumentará lentamente hasta alcanzar la paridad. Por lo tanto, la opción tendrá un theta positivo.

Sheldon Natenberg. Option Volatility & Pricing: Estrategias y técnicas avanzadas de negociación (Kindle Locations 1521-1525). Edición Kindle.

Answer 2

El gráfico de la pregunta se aplica a las opciones near-the-money y es engañoso para las opciones suficientemente out-of-the-money. Para las opciones at-the-money, el precio de la opción es proporcional al movimiento absoluto esperado durante la vida restante, es decir, $\sigma \sqrt{N}$ donde $N = T - t$ . Esta forma (parábola lateral) es la que muestra el gráfico.

Sin embargo, lejos del dinero, el precio de la opción $P$ se ve afectado principalmente por la probabilidad de alcanzar la huelga: $P \sim \Delta \sim \exp(-\frac{z^2}{\sigma^2 N})$ . Este es el factor dominante en la fórmula Black-Scholes. Aquí $z$ es el movimiento que debe realizar el subyacente para alcanzar el golpe. La relación $\Theta/P$ (tasa de decaimiento fraccional) es entonces aproximadamente $\frac{z^2}{\sigma^2 N^2}$ . Así que $\Theta$ es mayor que $P/N$ si $\frac{z^2}{\sigma^2 N}$ es suficientemente grande, es decir, si $\Delta$ es lo suficientemente pequeño.

La opción puede decaer tan rápidamente que pierde la mayor parte de su valor restante cada día, aunque le queden semanas, debido a la sensibilidad de la exponencial. El decaimiento fraccionario se acelera, aunque el decaimiento del dólar ( $\Theta$ ) no lo hace.

La respuesta de derivs es cualitativamente correcta, que las opciones muy fuera del dinero decaen a efectivamente cero mucho antes del vencimiento.

Answer 3

El OP ya no está activo, pero mucha gente se fijó en esta pregunta, que se basa en un malentendido de lo que es theta. Si escribes la fórmula de wikipedia en excel, deberías ver que coincide con tu proveedor de datos. Técnicamente, las opciones de SPY son americanas, pero dada la opción en cuestión, no hay diferencia con una opción europea de todos modos. En general, la diferencia, especialmente en theta será muy pequeña.

La mayoría de los usuarios aquí no verán preguntas cerradas en quant.stackexchange, pero si lo hace, puede mirar aquí . El scrrenshot con los valores tiene este aspecto:

En lugar de Excel, utilizaré Julia porque los gráficos serán más fáciles e interactivos. En cualquier caso, casi se puede copiar y pegar el código para las griegas y el valor de la opción de la enlace wikipedia previsto en la pregunta. Como allí se menciona, theta se expresa en valor por año y suele dividirse por el número de días de un año.

using Interact,Plots, Distributions,DataTheta Frames, PlotThemes, Dates, PrettyTables, Interact

N(x) = cdf(Normal(0,1),x)
n(x) = pdf(Normal(0,1),x)

"""
Calculate Black-Scholes European call option price
https://en.wikipedia.org/wiki/Greeks_(finance)#Formulas_for_European_option_Greeks
"""
function OptionBlackSPs(S,K,t,r,d,σ)
  d1 = ( log(S/K) + (r - d + 1/2*σ^2)*t ) / (σ*sqrt(t))
  d2 = d1 - σ*sqrt(t)
  p = -exp(-d*t)S*N(-d1) + exp(-r*t)*K*N(-d2)
  delta_p = -exp(-d*t)*N(-d1)
  gamma_p = exp(-d*t)*n(d1) / (S*σ *sqrt(t))
  theta_p = (-(S * exp(-d*t)*n(d1)* σ )/ (2 * sqrt(t)) + r * K * exp(-r*t) * N(-d2) - d * S * exp(-d*t)*N(-d1))/365
  rho_p = -( K*t * exp(-d*t) * N(-d2))*0.01
  vega_p = S * exp(-d*t)*n(d1) * sqrt(t)*0.01
  return delta_p, gamma_p, theta_p, vega_p, rho_p, p
end
df= DataFrame("Days"=> reverse(days), "Delta" => [x[1] for x in res], "Gamma" => [x[2] for x in res], "Theta" => [x[3] for x in res], "Vega" => [x[4] for x in res], "Rho" => [x[5] for x in res], "Theoretical value" => [x[6] for x in res], "Theta Bumped" => theta_bump, "P/N" => p_n)

hl_1 = Highlighter((data,i,j) -> data[i,1] == 42, crayon"bg:dark_gray white bold")
PrettyTables.pretty_table(df,  border_crayon = Crayons.crayon"blue", header_crayon = Crayons.crayon"bold green", formatters = ft_printf("%.4f", [2,3,4,5,6]), highlighters = (hl_1))

El siguiente marco de datos es el resultado, siendo la primera línea el precio de la opción en la captura de pantalla anterior. Como se puede ver, no es sorprendente (es sólo Black Scholes) coincide exactamente.

Las otras líneas reducen el plazo de vencimiento en un día cada vez, manteniendo todo lo demás igual. Theta bumped es el cálculo por diferencia finita de theta (acortar un día, mirar la diferencia como se muestra aquí . No se puede multiplicar theta por el número de días porque theta cambia con el tiempo (t forma parte de la fórmula).

Con respecto a P/N, eso tampoco funciona porque theta muestra el cambio en el precio de un día, no una media por día, repartida equitativamente a lo largo de la vida de las opciones.

El problema con el gráfico, y la interpretación que

uno esperaría que en cualquier punto dado en el tiempo, el theta de un opción sería generalmente menor que su precio actual, dividido por los días restantes; la razón es que va a seguir decayendo más rápido

es que fijarse ciegamente en una sola cifra dice poco sobre la valoración de opciones. Si piensa un poco en la cifra, se dará cuenta rápidamente de que sólo puede ser para una opción ATM, porque una opción ITM no valdrá cero al vencimiento, y una opción OTM ya no valdrá nada algún tiempo antes del vencimiento. Por lo tanto, habrá un punto de inflexión en algún lugar después del cual theta va hacia cero (como en el marco de datos anterior). Puesto que ya tenemos un marco de datos completo, podemos hacer un gráfico interactivo utilizando una sintaxis similar a la utilizada aquí .

Entonces, ¿hay alguna relación con P/N? Sí. Theta cruza P/N desde arriba en el nivel más bajo de P/N cuando se representa gráficamente con el tiempo restante hasta el vencimiento. Este punto corresponde gráficamente al punto de inflexión descendente de theta. Donde esto ocurre depende mucho del dinero y del IV, similar a cualquier otro valor en la valoración de opciones. La línea azul vertical son los 42 días de la opción en el ejemplo de la OP.

El ejemplo de Natenberg mencionado en otra respuesta es de futuros, que no se aplica a los ETF (SPY). Sin embargo, Natenberg tiene un argumento similar para las opciones sobre acciones en la P. 109 que dice así

¿Es posible que una opción tenga un theta positivo tal que si nada cambia, la opción valdrá mañana más de lo que vale hoy? De hecho, esto puede ocurrir debido al efecto depresivo de los tipos de interés. Consideremos una opción de compra a 60 sobre un contrato subyacente que cotiza actualmente a 100. ¿Cuánto podría valer si sabemos que al vencimiento el contrato subyacente seguirá cotizando a 100? a 100? Al vencimiento, la opción valdrá 40, su valor intrínseco. Sin embargo, si la opción está sujeta a liquidación bursátil, hoy sólo valdrá el valor actual de 40, tal vez 39. Si el precio subyacente se mantiene en 100, como tiempo, el valor de la opción deberá pasar de 39 (su valor actual) a 40 (su valor intrínseco al vencimiento). valor intrínseco al vencimiento). En efecto, la opción tiene un valor temporal negativo y y, por tanto, una theta positiva. Cada día que pase valdrá un poco más. Este se muestra en la figura 7-9.

He replicado esto en código aquí .

• la zona sombreada de la curva en verde muestra dónde hay valor temporal negativo para la opción con dividendo fijado en q (9% en este ejemplo)
• la curva azul es la rentabilidad de la misma opción, pero con dividendos del 12%.
• las barras sombreadas muestran las zonas en las que Black Scholes theta es positivo (azul para q = 9% y amarillo para q2 = 12%) - observe que la barra azul se superpone a partes de la barra amarilla

• Se parece mucho al gráfico de Natenberg, y dado el impacto de r y q en la opción (y a plazo), esta forma tiene un sentido intuitivo
• La propia Theta también está estrechamente relacionada con esa zona, como se aprecia por las barras de colores que comienzan más o menos en la intersección del valor de la opción con el valor intrínseco

No es una prueba formal pero, en mi opinión, a menudo la intuición y los gráficos también son muy útiles. Por último, pero no menos importante, también se puede trazar theta en función del spot para ver que, efectivamente, se vuelve positiva para las opciones ITM (profundas) con dividendos positivos:

Esto también demuestra que la explicación de Natenberg es incorrecta, y que son los dividendos, y no el efecto depresivo de los tipos de interés, lo que está en juego aquí.

Con respecto a la respuesta proporcionada por @nanoman, lo mismo se aplica para las opciones ITM como se muestra en mis gifs (es necesario excluir el valor intrínseco, ya que no se ve afectado por el tiempo o IV).

Answer 4

Excelente pregunta. La respuesta es fácil.

Estás viendo opciones fuera de dinero, y mi opinión es que están bastante fuera de dinero. No soy el mejor escritor, así que voy a tratar de explicar con un ejemplo.

Supongamos que una opción de compra at the money (100 strike) vale 3,00 dólares

Supongamos que la huelga de 120 vale 1,00 dólares

Supongamos que la huelga de 140 vale 0,20 dólares

Supongamos que la huelga de 150 vale 0,00 dólares

Vemos que mucho antes del vencimiento, el strike 150 ya vale cero. Por lo tanto, es justo suponer que el strike de 140 valdrá cero en breve, mucho antes del vencimiento. A efectos del ejemplo, vamos a suponer que será cero en siete días. Por lo tanto, todo su decaimiento se producirá en los próximos siete días y como el ejemplo anterior es de 45 días, 38 de esos días tendrán una theta de 0.

Por eso se ve lo que se ve. Usted está asumiendo cero en 45 días cuando la vida del valor extrínseco es sólo 7 días.

A medida que te acercas a las opciones at the money verás que la relación p/n se comporta más como esperas, y cuando llegas a las opciones at the money, es imposible que theta sea más que extrínseco dividido por días ya que la suma no puede valer más que las partes.

Espero que tenga sentido.

Además, todas las respuestas sobre los eventos y las ganancias como causa son erróneas. Un modelo de opciones estándar simplemente no asume que la volatilidad cambiará de su entrada actual, no es tan sofisticado. He escrito algunos que lo hacen, pero para fines mucho más complicados que las opciones estándar.

Además, quien escribió la información de tradingmarkets.com (insertada en la respuesta por robotcookies) no sabe nada de opciones y yo evitaría a ese autor como la peste.

-Se refiere a