He hecho la mayor parte del trabajo de campo, pero me he quedado corto en el último obstáculo. ¿Podría corregir mi(s) error(es)?
Dada la condición $x>0$ Tengo que considerar el juego infinitamente repetido donde la forma estratégica anterior es el juego de escenario. El factor de descuento: $\delta=\frac{1}{2}$ .
Necesito encontrar una condición adicional en el juego, de tal manera que tengamos un equilibrio perfecto de subjuego en el que ambos jugadores "cooperen" en cada período.
Lo que he hecho hasta ahora
El perfil de las estrategias estrictamente dominadas $(u,r)$ constituye la estrategia cooperativa en la que $x>0$ y $x \ne 1$ .
Por lo tanto, la prescripción (estrategia de cooperación) será $(u,r)=(x+1,x+1)$
El desencadenante sombrío es $(d,l) = (x,x)$
La recompensa de obedecer la prescripción:
$(x+1) + \delta(x+1) + \delta^2(x+1) +\delta^3(x+1)+... = \frac{x+1}{1-\delta}$
La recompensa de desviarse ( aquí viene el error ) :
$2x + \delta x + \delta^2 x +\delta^3 x +... =\color{red}{\frac{2x-\delta(x+1)}{1-\delta}}$
La parte en rojo aparentemente debería ser:
$$\frac{(2-\delta)x}{1-\delta}$$
No entiendo por qué me equivoco, ¿podría explicarlo? Yo entendía que si un jugador se desvía en el periodo 1 para obtener $2x$ entonces ambos jugadores tendrían que jugar el perfil de gatillo sombrío $(d,l)$ del periodo 2 a perpetuidad. Como resultado, los jugadores estarían perdiendo $\delta(x+1)$ . Por lo tanto, el numerador de la remuneración sería $\color{red}{2x - \delta(x+1)}$ en lugar de $\color{blue}{(2-\delta)x}$ .
Dado que el numerador correcto es $\color{blue}{(2-\delta)x}$ , puedo terminar fácilmente la pregunta:
$$\frac{x+1}{1-\delta} \ge \frac{(2-\delta)x}{1-\delta}$$
Por lo tanto, tendríamos un equilibrio subjuego perfecto si $x \le 2$ .
El problema es que mi error radica en:
$2x + \delta x + \delta^2 x +\delta^3 x +...$ $=\color{red}{\frac{2x-\delta(x+1)}{1-\delta}}$
Pero, no estoy seguro de por qué. Me gustaría saber por qué estoy equivocado y por qué $\color{blue}{(2-\delta)x}$ es el numerador correcto.
Gracias.
