Problemas para llegar a la fórmula Black-Scholes

Question

Estoy tratando de llegar a la fórmula de Black-Scholes para mi propio entendimiento. Puedo aceptar que uno puede utilizar la distribución y la tasa libre de riesgo, por lo que estoy tratando de utilizar la distribución para llegar al resultado en lugar de PDE. Esto es lo que tengo: $$\lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b pdf(s)(s-K)ds$$

Dado que el precio inicial es $S_0$ Lo he metido con $s$ .

$$\lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b pdf(s*S_0)(s*S_0-K)ds$$

Dónde $a = K / S_0$ .

Y como la fórmula de B-S elige el logaritmo normal usaré eso para el pdf:

$$\lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}* e^{\dfrac{-(ln(s*S_0)-\mu)^2}{2\sigma^2}} - \int_a^b\dfrac{K}{S_0s\sigma\sqrt{2\pi}} * e^{\dfrac{-(ln(s*S_0)-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Creo que estoy bien hasta aquí, pero podría estar equivocado con el lugar donde estoy poniendo mi $S_0$ 's... de todos modos la primera integral se ve espantosa pero encontré algo de ayuda aquí: https://stats.stackexchange.com/questions/9501/is-it-possible-to-analytically-integrate-x-multiplied-by-the-lognormal-probabi así que estoy bastante seguro de que vamos a terminar con algo así (para la primera integral):

$$e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma}(\Phi(\beta)-\Phi(\alpha))$$

donde $\beta = (ln(b) - \mu-\sigma^2)/\sigma$ y $\alpha = (ln(K/S_0) - \mu-\sigma^2)/\sigma$

Probablemente debería mencionar aquí que he estado sustituyendo mentalmente de forma perezosa $\sigma\sqrt{t}$ cada vez que veo $\sigma$ .

Desde $b$ va a $\infty$ , $\Phi(\beta)$ va a $1$ . En este punto también deberíamos intentar deshacernos de $\mu$ . Desde $S_0e^{rt}$ es el precio a plazo esperado, podemos fijarlo en $e^{\mu+\sigma^2/2}$ y conseguir:

$$\mu = ln(S_0) + rt - \sigma^2/2$$

En cuanto a la segunda integral, sólo vamos a obtener una diferencia de dos FCD logarítmicas normales (creo) veces $K$ . El primero será de nuevo $1$ desde $b$ va a $\infty$ , por lo que obtenemos $K(1-LNCDF(a))$ .

Mi resultado es el siguiente $S_0e^{rt}(1-\Phi(a)) - K(1-LNCDF(a))$ Esto no me resulta demasiado familiar, así que me pregunto qué estoy haciendo mal. Gracias.

Answer 1

Aquí tienes un par de indicaciones para que vuelvas al camino correcto (eso espero):

• Comenzar con la función de pago y por lo tanto $S(T)$ que consiste en $(W(T)-W(t))$ , $W$ siendo un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutral)

• se puede simplificar mucho trabajando con una variable aleatoria normal estándar:

$$Y = \frac{-(W(T)-W(t))}{\sqrt{T-t}}$$ que ayuda a deshacerse de la función indicadora y a derivar d+ y d-,

• necesitas realizar un cambio de variable para expresar parte de tu resultado como una función de la cdf.

Puedes encontrar la derivación completa en Steven Shreve, Cálculo estocástico para finanzas II Edición de 2004, pág. 218