Problema general
Dejemos que $k\in\mathbb{R}_+$ sea la variable de estado, $k=k^*$ un punto fijo (silla de montar) y $v(k)$ una función de valor. El problema es que la función de valor tiene dos formas funcionales distintas, donde el interruptor está en el punto fijo.
- ¿Tiene alguna referencia para este tipo de problemas?
- ¿Crees que se puede aproximar una solución al modelo siguiente?
- ¿Y qué pasa con la función de control/política?
Modelo
Dejemos que $t\in[0,\infty)$ et $k\in[0,2]$ es el estado. Hay dos actores $i=1,2$ con controles $\tau_i\in[0,1]$ . La producción viene dada por $f:[0,2]\to\mathbb{R}_+$ . Los salarios e intereses vienen dados por $w_1=f(k)-f'(k)k$ , $w_2=f(2-k)-f'(2-k)(2-k)$ et $r_1=f'(k)-\tau_1$ , $r_2=f'(2-k)-\tau_2$ respectivamente. La ley de movimiento del estado viene dada por \begin{align} \dot{k}=r_1-r_2. \end{align} Hay una silla de montar en \begin{align} k^*=1,~ \tau^*_1=\tau^*_2 \end{align} donde $\tau_i^*$ depende de algunos parámetros. La utilidad viene dada por la función \begin{align} u(g_i,c_i)=h(g_i)+c_i \end{align} donde $u_g>0<u_c$ . El bien público es con $g_i=\tau_i k$ y el consumo \begin{align} c_1=\begin{cases} w_1+r_1k+\int^1_k{[r_2-a(\theta)]d\theta},\quad & k\in[0,1)\\ w_1+r_1,& k\in[1,2] \end{cases} \end{align} et \begin{align} c_2=\begin{cases} w_2+r_2,\quad & k\in[0,1)\\ w_2+r_2(2-k)+\int^k_1{[r_1-b(\theta)]d\theta},& k\in[1,2] \end{cases} \end{align} con $a:[0,1]\to\mathbb{R}_+,~b:[1,2]\to\mathbb{R}_+$ que representa un cierto coste para $\theta\in[0,2]$ . Las funciones de retribución vienen dadas entonces por \begin{align} j_i(\tau_i,\tau_j)=\int^\infty_0{e^{-\rho t}(h(g_i)+c_i)dt} \end{align} con $\rho>0$ tasa de preferencia temporal. Y las funciones de valor son \begin{align} v_i(k)=\sup_{\tau_i} j_i. \end{align} Al establecer las ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) para cada jugador se obtiene \begin{align} \rho v_i(k)=\max_{\tau_i} h(g_i)+c_i + v'_i(k)\dot{k}. \end{align} En primer lugar, voy a arreglar $\tau_2$ en el nivel de equilibrio $\tau^*$ . Entonces el HJB para el jugador 1 es
\begin{align} \rho v_1(k) &=\max_{\tau_1} h(g_1)+c_1 + v'_1(k)\dot{k}\\ &=\begin{cases}\max_{\tau_1} h(g_1) + w_1+r_1k+\int^1_k{[r_2-a(\theta)]d\theta} + v'_1(k)\dot{k},\quad & k\in[0,1)\\ \max_{\tau_1} h(g_1) + w_1 + r_1 + v'_1(k)\dot{k},& k\in[1,2] \end{cases} \fin{align}
Los BDC son \begin{align} \tau_1= \begin{cases} (v_1'(k)+k)^{-1},\quad & k\in[0,1)\\ (v_1'(k)+1)^{-1},\quad & k\in[1,2] \end{cases} \end{align}
Primera pasada de la aplicación
He utilizado el algoritmo proporcionado por Benjamin Moll . Como referencia: en su modelo de crecimiento óptimo, la función de valor convergió en 8441 iteraciones y tardó 0,825062 segundos.
He utilizado una función de CB Production $f(k)=k^\alpha$ avec $Ak$ -Tecnología, es decir $f(k)=k$ (para $\alpha<1$ Tengo un problema) y registrar las preferencias a la $u(g,c)=\ln g +c$ . Una función de coste lineal con $a:\theta\mapsto (1-\theta)$ . Paré después de 200 iteraciones que ya duraron 21 minutos. En el primer panel está la estimación de la función de valor 1 y 200. El segundo panel muestra la diferencia entre las funciones de valor (tendencia de convergencia). Y el último panel es la función de política real, por ejemplo, $\tau_1(k)$ (nótese el pliegue en $k=1=k^*$ ). Parece correcto desde una perspectiva intuitiva. Es decir, un país reduce su tipo impositivo sobre el capital si el stock de capital es realmente pequeño y viceversa. No sé muy bien por qué el procedimiento es tan largo.
Actualización
Pude aumentar la velocidad. Luego aumenté el rango de la rejilla a los respectivos puntos finales del estado, así como el número de puntos de la rejilla y corrí el VFI (40000 Iteraciones) hasta que me quedé sin memoria. El primer panel contiene la primera y la última función de valor. El algoritmo converge con $|v^{40000}-v^{39999}|=0.0077$ . La curvatura de la función política se mantiene, pero la forma difiere ligeramente ahora. 
