1. ¿Qué significa que la superficie de vol es la vista actual de vol?
El modelo de volatilidad local se calibra con los precios de las vainillas (y equivalentemente con sus volatilidades implícitas), que reflejan la opinión del mercado sobre la volatilidad, con el fin de utilizarlo para fijar el precio de otras opciones que se cubrirán con las vainillas.
Cuando un modelo Black-Scholes (sin sonrisa) no podrá igualar las volatilidades implícitas de las opciones en todos los strikes (sonrisa). Los modelos de volatilidad local sí lo harán. Dada una superficie continua de precios de opciones de compra, que es dos veces diferenciable en el strike y una vez en el tiempo, la fórmula de Dupire da el único proceso de difusión neutral al riesgo (sin saltos) que es compatible con los precios de las opciones europeas:
- $dS_t = (r q)S_t dt + (t, S_t)S_tdW_t$
- con: $\sigma(t, S)^2 = 2 \frac{\frac{\partial C}{\partial T} + qC +(r-q)K\frac{\partial C}{\partial K}}{K^2\frac{\partial^2C}{\partial K^2}} |_{K = S, T = t}$
- donde $r$ es el tipo de interés, $q$ el rendimiento de la div, $C$ la función que da el precio de la llamada, $K$ la huelga y $T$ el vencimiento.
Para más información, véanse los artículos fundamentales de Dupire y Derman y Kani:
2. ¿Por qué es mejor si se utilizan modelos de volatilidad estocástica en su lugar?
Los modelos de volatilidad local podrán igualar el valor de la sonrisa a día de hoy, pero como la sonrisa se aplana para los vencimientos largos, el modelo da una sonrisa casi constante para estos vencimientos, lo que lleva a un aplanamiento de la sonrisa a plazo (es decir, la sonrisa en el futuro), que no es realista.
Esto no es deseable cuando la opción exótica que le concierne depende de la sonrisa hacia adelante (por ejemplo opción de trinquete ). En este caso, se necesita un modelo que ofrezca una dinámica de sonrisa realista.
Los modelos de volatilidad estocástica ofrecen una dinámica más realista de la sonrisa de la volatilidad. Sin embargo, tienen sus problemas/desafíos.
Por ejemplo, pueden ser más difíciles de calibrar que los modelos de vol local. Además, a veces pueden no mostrar suficiente sonrisa para las opciones con vencimientos cortos. Para superar este segundo problema, los modelos de volatilidad estocástica son:
- combinado con saltos en el subyacente.
- combinados con la volatilidad local (modelos de vol local-estocástico).
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Lo mejor son los resúmenes de las conclusiones, para hacerse una idea de los titulares. El público puede profundizar en cada uno de los temas si lo desea.