El SESGO y la VIX relaciones?

Question

Mi pregunta es acerca de la CBOE publicado el índice VIX y el SESGO.

Para empezar, considero que el trabajo en la variación de la dinámica. Puedo calibrar los datos de mercado (tales como el VIX y el VIX futuros) en el modelo de Heston. Después de eso, no es difícil derivar de la dinámica de VIX.

Pero, ¿cómo acerca de los giros, ¿cómo podría relacionar el Modelo de Heston a ella? O voy a emplear más modelos estocásticos para los momentos de orden superior de la base del registro de devolución?

Answer 1

Supongo que no las tasas de interés para aclarar el enfoque. El modelo de Heston está escrito bajo la neutrales al riesgo como la probabilidad de $$ \frac{dS_t}{S_t} = \sqrt{v_t}dW_t $$ $$ dv_t = -\kappa(v_t-\eta)dt + \theta \sqrt{v_t}dZ_t $$ con $d\langle W,Z\rangle_t = \rho dt$ y $v_0 = \sigma_0^2$. El uso de Itô del lema podemos derivar $$ \log\left(\frac{S_t}{S_0}\right) = \int_0^t \sqrt{v_s}dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t v_s ds $$ Según el CBOE blanco de papel, el SKEW índice se calcula a partir de $$ SKEW = 100 - 10 \mathbb{E}\left[ \left(\frac{R-\mu}{\sigma}\derecho)^3\derecho]$$ con $R$ siendo el de 30 días de registro de retorno del S&P500 y $\mu$, $\sigma$ su media y varianza. Usted puede-no sin algún trabajo de reescritura de la inclinación como una función de $v_t$ momentos. De hecho, usted tendrá que usar :

• Itô del lexema con $f(x)=x^\alpha$ obtener $\mathbb{E}(X_t^\alpha)$ con $X_t := \int_0^t \sqrt{v_s} dW_s$
• Itô del lexema con $f(x,y)=xy$ a mezclarse expectativa de la forma $\mathbb{E}(X_t^\alpha v_t^\beta)$

Finalmente, usted solo tendrá que preocuparse por encontrar $v_t$ momentos, la que puede ser obtenida mediante el uso de la clásica $$v_t - \mathbb{E}(v_t) = \theta\int_0^t e^{-k(t-s)}\sqrt{v_s}dW_s $$ y el de arriba.

En caso de que necesite fraccional momentos (como se puede ver en el VIX), la siguiente debe ser de interés.

Sea X una variable aleatoria con la transformada de Laplace $\mathcal{L}$. Entonces si $n\in\mathbb{N}$ y $\alpha>0$, a continuación, $$ \mathbb{E}[X^{n-\alpha}] = \frac{(-1)^n}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty \frac{\partial^{(n)}\mathcal{L}}{\partial \lambda}(\lambda)\lambda^{\alpha-1}d\lambda $$

Esto puede ser aplicado a encontrar $\mathbb{E}[\sqrt{v_t}]$, $\mathbb{E}[v_t^{3/2}]$, etc. La transformada de Laplace de una CIR proceso tiene una forma cerrada de afín tipo y pueden ser fácilmente encontrados en la literatura.

Answer 2

De hecho, incluso su VIX dinámica no son exactos, ya que sólo se pueden obtener dinámica para una aproximación de la real VIX cálculo (supongo que se ejecuta la varianza de la variable a través de una raíz cuadrada usando Ito de la regla).

SESGO es aún menos manejable aquí, ya que su cálculo, aproximadamente, va como el tercer momento de la devolución de distribución. Dudo incluso se puede obtener de forma cerrada para que la tercera momento, y mucho menos el cálculo real (que, como el VIX, depende discretos golpes).

Voy a añadir que el modelo de Heston es muy malo en hacer plausible adelante la volatilidad de los sesgos, por lo que los resultados de su esfuerzo puedan ser de interés académico único.

Si todavía quieres tratar, su mejor apuesta es la transformada de fourier de la función característica (como se hace para obtener la forma cerrada de Heston opción de fijación de precios de la ecuación). Usted probablemente puede obtener una forma cerrada de la expresión de la transformada de fourier de la tercera momento de las declaraciones. Convirtiendo esto en una real aproximación al SESGO probablemente no tienen ninguna solución analítica de la integral de fourier para que usted tendrá el uso de la FFT técnicas para obtener los números de todo el proceso.