Nota: Esta pregunta está relacionada con esta cuestión sobre la construcción de los procesos estocásticos. Específicamente, se refiere a la transformación de $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ que se menciona. El siguiente es un ejemplo para ayudar a comprender estas transformaciones. Si dicha transformación se miden preservar, entonces la función de distribución de $X_t$ es idéntico para todos $t \geq 0$.
Si suponemos que $\Omega = [0,1)$ y que $Pr$ es el uniforme de la medida y que $$ \mathbb S(\omega) = \begin{casos} 2 \omega & \omega \[0, 1/2) \\ 2 \omega - 1 & \omega \en [1/2, 1), \end{casos} $$ ¿cómo podemos demostrar que $\mathbb S$ es la medida de preservación?
Definitivamente es suficiente para comprobar esta propiedad sólo para abrir los intervalos en $\Omega$. Pero tratando de forma tan explícita para un intervalo arbitrario $(a,b) \subconjunto \Omega$ es complicado por el hecho de que es difícil decir más de $\mathbb S((a,b)) \subconjunto de [0,1)$ cuando $(a,b) \subconjunto [0,1/2)$ y que de nuevo $\mathbb S((a,b)) \subconjunto de [0,1)$ cuando $(a,b) \subconjunto [1/2)$. Dado esto, ¿qué es una manera fácil de ir sobre argumentando que $\mathbb S$ es la medida de preservación?
